gęstość, rozkład jednostajny

[111sadysta]

Wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
\(\displaystyle{ \eta =ln \xi}\)
przy czym \(\displaystyle{ \xi}\) jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\)

[Emiel Regis]

Proponuję zacząć standardowo to jest poprzez wyznaczenie dystrybuanty rozkładu zmiennej eta. W razie gdyby podpowiedź okazała się mało skuteczna to napisz swoje przemyślenia i gdzie stanęłaś w jej wyliczaniu.

[111sadysta]

rozkład jednostajny to \(\displaystyle{ \frac{1}{b-a} 1_{(a,b)}}\)
w naszym przypadku jest to przedział \(\displaystyle{ \left( 0,1 \right)}\)
jak podłoże to
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-0}=1}\)
jak mam połączyć \(\displaystyle{ \xi}\) z \(\displaystyle{ \eta =ln \xi}\)?

[Emiel Regis]

Pozwolisz, że dziś ja pozostanę sadystą zatem odpowiedź jest taka sama jak wcześniej, trzeba znaleźć dystrybuantę zmiennej eta do której się nawet nie zbliżyłaś.

\(\displaystyle{ F_{\eta}(x) = ...}\)

[111sadysta]

\(\displaystyle{ F_{\eta}(x) =P((-\infty,x))}\)
prosze o pomoc

-- 14 wrz 2009, o 17:51 --

rozkład absolutnie ciągły
\(\displaystyle{ f= \frac{1}{b}1_{[a,b]}}\)
\(\displaystyle{ F_X=P((- \infty , x))= \int_{(- \infty , x)}\frac{1}{b}1_{[a,b]}(y)dy=}\)

rozpatruje przypadki:

\(\displaystyle{ x < a}\)
\(\displaystyle{ F_X=P((- \infty , x))= \int_{ - \infty }^{x} 0 dt=0}\)

\(\displaystyle{ x \in [a,b]}\)
\(\displaystyle{ F_X=P((- \infty , x))= \int_{ - \infty }^{x} f(t)dt= \int_{ - \infty }^{a} 0 dt+ \int_{a}^{x} \frac{1}{b-a} dt=0+ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{x} dt= \frac{1}{b-a} \left[t \right] _{a}^{x}= \frac{x-a}{b-a}}\)

\(\displaystyle{ x>b}\)
\(\displaystyle{ F_X=P((- \infty , x))= \int_{ - \infty }^{a} 0 dt+ \int_{a}^{b} \frac{1}{b-a} dt+ \int_{b}^{x} 0 dt=0+ \frac{b-a}{b-a} +0=1}\)

wracam do początku:
\(\displaystyle{ F_X=P((- \infty , x))= \int_{(- \infty , x)}\frac{1}{b}1_{[a,b]}(y)dy= \begin{cases} 0, \ \ x<a \\ \frac{x-a}{b-a, \ \ a \le x \le b\\ 1, \ \ x>b } \end{cases}}\)

w miejscu a wstawiam 0
a w miejscu b 1

jak już mam dystrybuantę, to by policzyć gęstość to licze pochodną

tylko co z tym \(\displaystyle{ ln}\) ?

-- 14 wrz 2009, o 18:01 --

\(\displaystyle{ F_\eta(x)=P(\eta\in (-\infty,x))=P(ln\xi \in (-\infty,x))=}\) ?
nie wiem co mam dalej zrobić
proszę o pomoc

[suwak]

Kombinujesz jak koń pod górę

\(\displaystyle{ P(\eta \leq t ) = P( \ln \xi \leq t) = P(\xi \leq e^t) = F_\xi (e^t)}\)

[111sadysta]

a oznaczałam tak:
\(\displaystyle{ F_X(x)=P((-\infty,x))}\)


w naszym zadaniu:
\(\displaystyle{ F_{ \eta} (x)=P(\eta \in (-\infty, x)) = P(\eta < x ) = P(ln\(\xi) < x) = P( \xi < e^x) = F(e^x)}\)

licze pochodną z dystrybuanty \(\displaystyle{ e^x}\)
i mam \(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=e^x}\)

co z przedziałami? jakie powinny być przedziały z nierówności?

[Hania_87]

\(\displaystyle{ F_\eta(x)=P(\eta\in (-\infty,x))=P(ln\xi \in (-\infty,x))=P(\xi\in (-\infty,e^x))=F_\xi(e^x)}\)

Różniczkując stronami dostajemy

\(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=e^x}\)


la \(\displaystyle{ x\notin [0,1] \qquad F_{\eta}(x)=0,\qquad\text}\)a wiec \(\displaystyle{ f_{\eta}(x)=0}\)


czy to rozwiązania są poprawne?

[suwak]

Źle, bo skoro stosujesz twierdzenie o tym, że obraz przez przekształcenie ciągłe przedziału też jest przedziałem to nie możesz transformowac tylko jednego końca.

\(\displaystyle{ ln xi in (-infty,x)
ightarrow xi in [0,e^x)}\)

czyli \(\displaystyle{ F_\eta (x) = F_\xi(e^x) - F_\xi(0)}\)

akurat odjemnik jest zerem więc wynik się zgadza, ale przekształcenia po drodze są błędne.

[Hania_87]

nie bardzo rozumie
\(\displaystyle{ F_\eta(x)=P(\eta\in (-\infty,x))=P(ln\xi \in (-\infty,x))=P(\xi ^{-1}\in (-\infty,e^x))=F_\xi(e^x)}\)

[suwak]

Jeżeli już to nie \(\displaystyle{ \xi^{-1}}\), tylko \(\displaystyle{ \eta^{-1}}\).

Narysuj sobie wykres funkcji \(\displaystyle{ y(t) = \ln t}\)

Skoro \(\displaystyle{ y \in (-\infty,x)}\) to do jakiego przedziału należy \(\displaystyle{ t}\)?

[Hania_87]

\(\displaystyle{ F_\eta(x)=P(\eta\in (-\infty,x))=P(ln\xi \in (-\infty,x))=P(\eta^{-1}\in (-\infty,e^x))=F_\eta(e^x)}\)

dla \(\displaystyle{ ln x}\)
dla \(\displaystyle{ x >0}\) a wartości zmieniają się po całym \(\displaystyle{ R}\)

Skoro y in (-infty,x) to do jakiego przedziału należy t?

jeżeli wartości są \(\displaystyle{ (- \infty , x)}\) to argumenty muszą się zmieniać \(\displaystyle{ (- \infty , ...)}\)
hmm

[Emiel Regis]

Straszne zamieszanie się zrobiło. Napisze wg mnie najkrótsze rozwiązanie tego zadania. Tylko będę oznaczał jak człowiek tj. X będzie jako ksi, a Y jako eta.

\(\displaystyle{ F_Y(y) = P(Y \le y) = P(\ln X \le y) = P(X \le e^y) = F_X(e^y)}\)

\(\displaystyle{ f_Y(y) = \textbf{1}_{[0,1]}(e^y) \cdot e^y = \textbf{1}_{(-\infty,0]}(y) \cdot e^y}\)

[Hania_87]

\(\displaystyle{ F_{\eta}(x) =P((-\infty,x))}\)ja tak oznaczam
Emiel Regis, na pewno \(\displaystyle{ \le}\), a nie \(\displaystyle{ <}\)??

[Emiel Regis]

Dystrybuantę można definiować na dwa równoważne sposoby.

1. \(\displaystyle{ F(x) := P(-\infty,x)}\)

2. \(\displaystyle{ F(x) := P(-\infty,x]}\)

W tym zadaniu nie ma znaczenia, który sposób wybierzemy, przy rozkładach dyskretnych jest różnica jednak łatwo przejść z jednego zapisu na drugi.