Prawdopodobieństwo urodzenia...

[technofetishist]

Chciałbym prosić o weryfikację mojego rozumowania. Oto zadanie:

Przyjmijmy, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca i dziewczynki są równe 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie mającej sześcioro dzieci jest:
a) trzech chłopców
b) nie mniej niż jeden i nie więcej niż pięciu chłopców

(1) Ponieważ narodziny dziecka mogą zakończyć się powiciem chłopca lub dziewczynki, to jest to próba Bernoulliego. Przyjmijmy, że urodzenie chłopca jest sukcesem.

(2) Jak wiemy prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ k}\) sukcesów w \(\displaystyle{ n}\) próbach Bernoulliego wynosi:

\(\displaystyle{ P_{n}(k)= {n \choose k} * p^{k} * q^{n-k}}\)
gdzie \(\displaystyle{ p \ - \ prawdopodobienstwo \ sukcesu}\)
oraz \(\displaystyle{ q \ - \ prawdopodobienstwo \ porazki}\)

(3) W naszym wypadku (podpunkt a)

\(\displaystyle{ n=6}\)
\(\displaystyle{ k=3}\)
\(\displaystyle{ p=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}\)

(4) Policzmy

\(\displaystyle{ P_{6}(3)= {6 \choose 3}*(\frac{1}{2})^{3}*(\frac{1}{2})^{3}={\frac{6!}{(6-3)!*3!}}*{\frac{1}{8}}*{\frac{1}{8}}=\frac{20}{64}}\)

(5) Zatem prawdopodobieństwo, że w rodzinie mającej sześcioro dzieci jest trzech chłopców wynosi

\(\displaystyle{ \frac{20}{64}}\)

(6) W przypadku podpunktu b, czyli urodzenia nie mniej niż jednego i nie więcej niż pięciu chłopców, jak sądzę, powinniśmy zsumować prawdopodobieństwa, że urodzi się 1,2,3,4 lub 5. Policzmy więc...

\(\displaystyle{ P_{6}(1)= {6 \choose 1}*(\frac{1}{2})^{1}*(\frac{1}{2})^{5}={\frac{6!}{(6-1)!*1!}}*{\frac{1}{2}}*{\frac{1}{32}}=\frac{6}{64}}\)

\(\displaystyle{ P_{6}(2)= {6 \choose 2}*(\frac{1}{2})^{2}*(\frac{1}{2})^{4}={\frac{6!}{4!*2!}}*{\frac{1}{64}}=\frac{15}{64}}\)

\(\displaystyle{ P_{6}(3)= {6 \choose 3}*(\frac{1}{2})^{3}*(\frac{1}{2})^{3}={\frac{6!}{(6-3)!*3!}}*{\frac{1}{8}}*{\frac{1}{8}}=\frac{20}{64}}\)

\(\displaystyle{ P_{6}(4)= {6 \choose 4}*(\frac{1}{2})^{4}*(\frac{1}{2})^{2}={\frac{6!}{4!*2!}}*{\frac{1}{64}}=\frac{15}{64}}\)

\(\displaystyle{ P_{6}(5)= {6 \choose 5}*(\frac{1}{2})^{5}*(\frac{1}{2})^{1}={\frac{6!}{1!*5!}}*{\frac{1}{64}}=\frac{6}{64}}\)

(7) Niech \(\displaystyle{ A \ - \ urodzenie \ nie \ mniej \ niz \ 1 \ i \ nie \ wiecej \ niz \ 5 \ chlopcow}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{6}{64}+\frac{15}{64}+\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}=\frac{57}{64}}\)

_____________________________

Proszę zatem o sprawdzenie poprawności mojego rozwiązania. Z góry dziękuję.

[JankoS]

W ostatnim wierszu w dodawaniu jest błąd.
Prościej (?) liczyć przy pomocy zdarzenia przeciwnego \(\displaystyle{ P(A)=1- \left( {6 \choose 0} \cdot \frac{1}{64}+{6 \choose 6} \cdot \frac{1}{64} \right) =1-\frac{1}{32}}\).

[technofetishist]

Tak, prawda, oczywiście:

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{6}{64}+\frac{15}{64}+\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}=\frac{62}{64}}\)

Faktycznie, prościej przez zdarzenie przeciwne. Dziękuję za pomoc .

[koko1987]

Przyjmijmy, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca i dziewczynki są równe 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie mającej sześcioro dzieci jest:
a) trzech chłopców

a dlaczego tutaj prawdopodobienstwo urodzenia 3 chlopcow jes rowne \(\displaystyle{ \frac{20}{64}}\) ?

tak na zdrowy rozum wszystko wskazuje, ze powinno byc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), gdyz 3 chlopcow w 6-osobowej rodzinie, kazde dziecko z prawdopodobienstwem 0,5... nie rozumiem
moze mi to ktos wytlumaczyc?

[technofetishist]

Przyjmijmy, że prawdopodobieństwo urodzenia chłopca i dziewczynki są równe 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w rodzinie mającej sześcioro dzieci jest:
a) trzech chłopców

a dlaczego tutaj prawdopodobienstwo urodzenia 3 chlopcow jes rowne \(\displaystyle{ \frac{20}{64}}\) ?

tak na zdrowy rozum wszystko wskazuje, ze powinno byc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), gdyz 3 chlopcow w 6-osobowej rodzinie, kazde dziecko z prawdopodobienstwem 0,5... nie rozumiem
moze mi to ktos wytlumaczyc?

Bo gdyby prawdopodobieństwo urodzenia 3 chłopców było \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) i prawdopodobieństwo urodzenia 3 dziewczynek było \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), to prawdopodobieństwo urodzenia innej liczby chłopców, czy dziewczynek byłoby \(\displaystyle{ 0}\).