Winda - na przynajmniej jednym piętrze nikt nie wysiadł...

[technofetishist]

Witam,

Nie muszę chyba mówić, że mam problem z pewnym zadaniem o wysiadaniu z windy. Oto treść:

W windzie było siedem osób. Każda z nich mogła wysiąść na każdym z trzech pięter. Policz prawdopodobieństwo, że przynajmniej na jednym piętrze nikt nie wysiadł.

Jeśli dobrze rozumiem 7 osób może wybrać sobie jedno z 3 pięter, więc:
\(\displaystyle{ {\Omega}=\{(x_{1},x_{2},...x_{7}),\ gdzie\ x_{i}=1,2,3\}}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=3^{7}}\)

Czy prawdopodobieństwo, że na przynajmniej jednym piętrze nikt nie wysiadł, to \(\displaystyle{ A \cup B}\), gdzie
\(\displaystyle{ A \ - \ na \ jednym \ pietrze \ nikt \ nie \ wysiadl}\) oraz \(\displaystyle{ B \ - \ na \ dwoch \ pietrach \ nikt \ nie \ wysiadl}\) ?


Jeśli tak, to \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)}\), jednak nie wiem, jak policzyć \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\). Mam również wątpliwości co do \(\displaystyle{ \overline{\overline A}}\) i \(\displaystyle{ \overline{\overline B}}\).

Czy możliwe, że:
\(\displaystyle{ \overline{\overline A}=2^{7}*3}\) (bo każda z 7 osób może wybrać jedno z 2 pięter, ale nie wysiadamy na 1 lub 2 lub 3 piętrze, więc mnożymy przez 3 możliwości)
\(\displaystyle{ \overline{\overline B}=1^{7}*3}\) (bo wszyscy wysiadają na jednym, ale - jak powyżej - mogą na 1 lub 2 lub 3)
?
Bo odnoszę wrażenie, że pewne "kombinacje" się pokrywają i coś należałoby odjąć...

Utknąwszy na \(\displaystyle{ A \cap B}\) proszę więc o pomoc w rozwiązaniu.

Z góry dziękuję i wyrażam cichą nadzieję, że społeczności forum uda się w niedzielne popołudnie wspomóc biednego studenta we wrześniowej kampanii probabilistycznej .

[Dumel]

oczywiście \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\) bo niemożliwe jest aby jednocześnie nikt nie wysiadł na (dokładnie) jednym piętrze i (dokładnie) dwóch.

[technofetishist]

Rozumiem. Dziękuję Dumel.

Zastanawiałem się dalej nad tymi obliczeniami i doszedłem do wniosku, że:

\(\displaystyle{ \overline{\overline A}=(2^{7}-2)*3}\)

A to dlatego, że, jeśli dobrze rozumiem \(\displaystyle{ 2^{7}}\) - czyli ilość możliwości wyjścia na jednym z dwóch pięter to odpowiednio:
np. dla 1 i 2 piętra
\(\displaystyle{ (1,1,1,1,1,1,1) \ lub \ (1,1,1,1,1,1,2) \ lub \ ... \ lub \ (2,2,2,2,2,2,2)}\)
...przy czym pierwsze i ostatnie nie powinno się znaleźć w tym zdarzeniu, bo oznacza wyjście wszystkich na jednym piętrze (czyli de facto \(\displaystyle{ 1/3 \ przypadku \ B}\)).

Policzmy:
\(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{\overline{\overline A}}{\overline{\overline{\Omega}}}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{(2^{7}-2)*3}{3^{7}}=\frac{378}{2187}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{3}{2187}}\)
\(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\)

\(\displaystyle{ P(A \cup B)=\frac{378}{2187}+\frac{3}{2187}-0=\frac{381}{2187} \approx 0,1742}\)

Czy moje rozumowanie jest słuszne? Czy ktoś widzi tutaj błędy?

[Dumel]

wszystko ok