rozkład normalny, związki między rozkładami, wartość oczek.

[cesarzurs]

1. Zmienne losowe X1, X2, X3, X4 są niezależne i mają jednakowy rozkład normalny \(\displaystyle{ N(0, \sigma ^{2} )}\)
Obliczyć P(X1-5*X2<5*X3-X4).

2. Licznik Geigera i źródło promieniowania umieszczono względem siebie, tak że zarejestrowanie przez licznik cząteczki promieniowania wynosi 0,001. Załóżmy, że preparat wytworzył 30000 cząsteczek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że licznik zarejestruje najwyżej 3 cząsteczki?

3. funkcja gęstości:

\(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} x+y \ dla \ (x,y) \in (0,1)x(0,1)\\ 0 \ dla p.p.\end{cases}
Oblicz \ E(X+Y|Y \ge 0,5).}\)


Proszę o rozwiązania albo wskazówki, jak postępować z takimi typami zadań. Z góry wielkie dzięki.

[suwak]

Nie \(\displaystyle{ \partial}\) tylko \(\displaystyle{ \sigma}\)

Tak na szybko to korzystasz z twierdzenia, żę transformacja liniowa wektora o rozkładzie normalnym też ma rozkład normalny.

Np. w 3) musisz z wektor \(\displaystyle{ (X,Y)}\) pomnożyć przez macierz tak aby dostać \(\displaystyle{ (X+Y,Y)}\)
nazwijmy tą macierz A wtedy wartość oczekiwana i wariancja się transformują jako

\(\displaystyle{ N \sim (A \mu, A^T \Sigma A)}\)

ale sprawdź w książce bo nie pamiętam dokładnie wzoru.

Teraz masz już odpowiedni rozkład dwuwymiarowy i jedziesz z twierdzenia o rozkładzie warunkowym. Np. w Jakubowskim, Sztenclu masz odpowiednie wzory.

[cesarzurs]

pomysł suwaka wogóle mi nie pomógł... to jeszcze nie ten poziom... może ktoś inny ma rozwiązania?

[cesarzurs]

pomysł suwaka wogóle mi nie pomógł... to jeszcze nie ten poziom... może ktoś inny ma rozwiązania?

[suwak]

Skoro "to nie ten poziom" to ja szczerze mówiąc nie wiem jak da się to zrobić prościej.

Wymagane umiejętności to mnożenie macierzy i całkowanie funkcji dwóch zmiennych, ale jak ktoś umie to zrobić prościej to chętnie się dowiem.