Rozkład wykładniczy

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
dwukwiat15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 246
Rejestracja: 4 cze 2006, o 09:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krobia
Podziękował: 42 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: dwukwiat15 »

CZas pracy lampy pewnego typu ma rozkład wykładniczy o średniej 100 dni. Jakie jest prawdpodbieństwo, ze zapas 100 lamp wystarczy na 9900 dni nieprzerwanej pracy. Przyjmujemy ze spalona lampa jest natychmiast wymieniana na nową.
Mógłby ktoś napisać jak to rozwiązać ?
Awatar użytkownika
Majorkan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 128
Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków/Jasło
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 33 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: Majorkan »

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową oznaczającą czas pracy lampy. \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład o dystrybuancie \(\displaystyle{ F(x)=1-e^{-\frac{1}{100}x}}\).
\(\displaystyle{ 100X}\) jest zmienną losową oznaczającą czas pracy 100 lamp.
\(\displaystyle{ P(100X \ge 9900)=P(X \ge 99)=1-P(X<99)=1-F(99)=e^{- \frac{99}{100}}}\)
Awatar użytkownika
Janek Kos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 417
Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 98 razy

Rozkład wykładniczy

Post autor: Janek Kos »

Majorkan, to nie jest niestety dobre rozwiaznie.

Niech \(\displaystyle{ X_i\ \ \ i=1,2,...,100}\) maja rozklad wykl. z par. \(\displaystyle{ \lambda}\), wtedy:
\(\displaystyle{ S_{100}= \sum_{i=1}^{100}X_i}\) ma rozklad Erlanga z odpowiednimi parametrami.

Dystrybuanta rozkladu Erlanga nie wyglada przyjaznie, wiec w tym zadaniu mozna skorzystac z centr. tw. granicznego. Dla \(\displaystyle{ S_{100}}\) latwo policzyc \(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ D^2X}\)

\(\displaystyle{ P(S_{100} \ge 9900)=1-P(S_{100} < 9900)=1-\Phi(\frac{-100}{1000000}) \approx 0.5}\)

Dokladna wartosc tego prawd., korzystajac z Excel'owej funkcji - rozklad Gamma - wynosi:

\(\displaystyle{ P(S_{100} \ge 9900)=0.526695859}\)
ODPOWIEDZ