prawdopodobieństwo zdarzeń
-
justyna0811
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 17:26
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 1 raz
prawdopodobieństwo zdarzeń
Niech \(\displaystyle{ P(N=k)=(1/4)*(3/4)^k, k= 0,1,2... , P(M=k)=(1/2)^{k+1}, k=0,1,2...}\) Zdefiniujmy \(\displaystyle{ N_1 = min(N,3), M_1=min(5,M).}\)Załóżmy, że N i M są niezależne.Policz \(\displaystyle{ P(N_1+M_1=5)}\)
-
Janek Kos
- Użytkownik
- Posty: 417
- Rejestracja: 20 lis 2005, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 98 razy
prawdopodobieństwo zdarzeń
\(\displaystyle{ P(N_1+M_1=5)=P(\{N_1=0\ i\ M_1=5\} \cup \{N_1=1\ i\ M_1=4\}\cup \{N_1=2\ i\ M_1=3\}\cup\{N_1=3\ i\ M_1=2\})=P(\{N_1=0\ i\ M_1=5\})+P(\{N_1=1\ i\ M_1=4\})+P(\{N_1=2\ i\ M_1=3\})+P(\{N_1=3\ i\ M_1=2\})=...}\)
dla pierwszej skladowej tej sumy:
\(\displaystyle{ P(N_1=0)=P(min(N,3)=0)=P(N=0)=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(M_1=5)=P(min(M,5)=5)=P(M \ge 5)= \sum_{k=5}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k+1}= \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k+6}=(\frac{1}{2})^{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}=\frac{1}{32}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ P(\{N_1=0\ i\ M_1=5\})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{32}}\)
itd.
dla pierwszej skladowej tej sumy:
\(\displaystyle{ P(N_1=0)=P(min(N,3)=0)=P(N=0)=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(M_1=5)=P(min(M,5)=5)=P(M \ge 5)= \sum_{k=5}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k+1}= \sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k+6}=(\frac{1}{2})^{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{2})^{k}=\frac{1}{32}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ P(\{N_1=0\ i\ M_1=5\})=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{32}}\)
itd.