ile wynosi y

[milmi]

znaleść taką liczbę y, że \(\displaystyle{ P(X \ge y)= \frac{1}{4}}\).
mamy podaną gęstość:\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} xe^\frac{-x^2}{2}, x>0\\ 0, x \le 0 \end{cases}}\)
i po własnych obliczeniach dystrybuantę: \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0 \\ 1-e^\frac{-x^2}{2} \end{cases}}\)

[bstq]

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}
xe^{-x},x>0\\
0,x\le0\end{cases}}\)
czy ta gęstość nie powinna wyglądać tak?

[milmi]

dobrze napisałam, jak by tak wyglądała to przecież dystrybuanta by się nie zgadzała.

[bstq]

\(\displaystyle{ P\left(X\ge y\right)=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P\left(X\ge y\right)=1-P\left(X<y\right)=1-F(y)=1-1+e^{\frac{-y^{2}}{2}}=e^{\frac{-y^{2}}{2}}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ e^{\frac{-y^{2}}{2}}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-y^{2}}{2}=\ln\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-y^{2}}{2}=-\ln4}\)
\(\displaystyle{ y^{2}=4\ln2}\)
\(\displaystyle{ y=\pm2\sqrt{\ln2}\qquad\wedge y>0}\)
\(\displaystyle{ y=2\sqrt{\ln2}}\)
tak sie tylko pytalem - bo gestosc rozkladu wykladniczego jest bardziej spotykana

[milmi]

o dziękuję! rozumie całe rozwiązanie tylko, że w odp. jest \(\displaystyle{ \sqrt{ln16}}\). sprawdzałam w derive6 \(\displaystyle{ \sqrt{ln16}}\) i\(\displaystyle{ \sqrt{2ln \frac{1}{4} }}\) to inne wartości. więc albo w odp. jest źle albo mamy błąd.

[bstq]

\(\displaystyle{ 2\sqrt{\ln2}=\sqrt{4}\sqrt{\ln2}=\sqrt{4\ln2}=\sqrt{\ln2^{4}}=\sqrt{\ln16}}\)
każdy może wątpić
pozatym wartosc \(\displaystyle{ \sqrt{2ln \frac{1}{4} }}\) nie moze byc - bo to jest pierwiastek z liczby ujemnej - czyli liczba urojona, a twoja zmienna losowa ma gestosc okreslona na liczbach rzeczywistych

[milmi]

o rany! piękne dzięki! wszystko się zgadza!