Zdarzenie - niby proste

[wektorek]

Niech Ω={1,2,3,4} i niech ∑ będzie najmniejszą sigma-algebrą jego podzbiorów zawierających zbiory {1} oraz {3,4}. Czy zbiór {2,3} jest zdarzeniem losowym? Dlaczego tak? Dlaczego nie?

[bstq]

\(\displaystyle{ \Omega=\left\{ 1,2,3,4\right\}}\)
niech \(\displaystyle{ A=\left\{ 1\right\} ,B=\left\{ 3,4\right\}}\)
Algebra zawierająca \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) musi zawierać także:
\(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\)
\(\displaystyle{ A\cap\left(\Omega\backslash B\right)=A}\)
\(\displaystyle{ \left(\Omega\backslash A\right)\cap B=B}\)
\(\displaystyle{ \left(\Omega\backslash A\right)\cap\left(\Omega\backslash B\right)=\left\{ 2\right\}}\)
\(\displaystyle{ \sigma\left(\left\{ 1\right\} ,\left\{ 3,4\right\} \right)=}\)
\(\displaystyle{ \{\emptyset}\)- bo zawiera się w każdej algebrze,
\(\displaystyle{ \Omega}\) - bo zawiera się w każdej algebrze,
\(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\),
\(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\}}\),
\(\displaystyle{ \left\{ 2\right\}}\),
\(\displaystyle{ \left\{ 1,2\right\}}\) - bo to suma zdarzeń które są w algebrze
\(\displaystyle{ \left\{ 1,3,4\right\}}\) - bo to suma zdarzeń które są w algebrze
\(\displaystyle{ \left\{ 2,3,4\right\}}\)- bo to suma zdarzeń które są w algebrze\(\displaystyle{ \}}\)
zbiór \(\displaystyle{ \left\{ 2,3\right\}}\) nie jest zdarzeniem, bo zbiory \(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\}}\)
oraz \(\displaystyle{ \left\{ 2\right\}}\) są atomami tej algebry, tzn. \(\displaystyle{ A}\) jest
atomem, jeśli \(\displaystyle{ \forall B\in\mathcal{B}}\) albo \(\displaystyle{ A\cap B=\emptyset}\)
albo \(\displaystyle{ A\cap B=A}\). Chodzi o to, że nie występuje zdarzenie \(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\}}\) - bo to atom, którego nie da się rozdzielić,a co za tym idzie nie występuje zdarzenie \(\displaystyle{ \left\{ 3\right\}}\). Oczywiście atom w terminach rachunku prawdopodobieństwa to zdarzenie elementarne.

Zauważ, że napisana przeze mnie algebra jest najmniejsza. Można by dodać np. zbiór \(\displaystyle{ \{4\}}\) i wtedy zbiór zdarzeń byłby większy

Zachęcam do przeczytania podobnych zadań w "Zbiór zadań z rachunku prawdopodobieństwa" Stojanow, Mirazczijski, Ignatow, Tanuszew, zad 11.14, 11.15 (str 102), odpowiedzi strona 247
oraz do książki "Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa" Gerstenkorn, Śródka, strona 73-77

[wektorek]

bstq, szkoda, że nic z tego nie rozumiem. Pierwsze słyszę, o jakichś atomach, o tych warunkach algebry. W ogóle nie wiem jak to się do zdarzenia odnosi.

[bstq]

No to tak po kolei:
Zbiór pusty i cała przestrzeń zawsze zawierają się w \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrze
Definicja sigma ciała mówi o tym, że jeśli \(\displaystyle{ A\in\mathcal{A}}\), to
\(\displaystyle{ \left(\Omega\backslash A\right)\in\mathcal{A}}\).
Skoro nasza rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) ma zawierać zbiory \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\)
i \(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\}}\), to musi także zawierać zbiory\(\displaystyle{ \Omega\backslash\left\{ 1\right\} =\left\{ 2,3,4\right\}}\)
oraz \(\displaystyle{ \Omega\backslash\left\{ 3,4\right\} =\left\{ 1,2\right\}}\).
Teraz dalej. Skoro \(\displaystyle{ \left\{ 1\right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ 3,4\right\}}\)
mają generować tą \(\displaystyle{ \sigma}\)-algebrę \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), to również suma
tych zbiorów ma być w \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\), czyli \(\displaystyle{ \left\{ 1,3,4\right\} \in\mathcal{A}}\).
I dalej \(\displaystyle{ \left\{ 1,3,4\right\} \in\mathcal{A}\Rightarrow\Omega\backslash\left\{ 1,3,4\right\} =\left\{ 2\right\} \in\mathcal{A}}\).
Podsumowując \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left\{ \emptyset,\Omega,\left\{ 1\right\} ,\left\{ 3,4\right\} ,\left\{ 2,3,4\right\} ,\left\{ 1,2\right\} ,\left\{ 1,3,4\right\} ,\left\{ 2\right\} \right\}}\).

i teraz trzeba popatrzeć na to sigma ciało, czy czegoś nie brakuje, tzn. czy dla każdych kilku różnych zbiorów z sigma ciała realizowana jest operacja - sumy, różnicy, przecięcia zbiorów, tzn. czy np. przecinając kilka zbiorów otrzymujemy zbiór który jest zawarty w sigma ciele