Może ktoś wytłumaczyć jak to robić?
Zmienna losowa Z ma rozkład normalny N(0,1). Wyznaczyć \(\displaystyle{ Z_{ \alpha }}\) tak aby:
a)\(\displaystyle{ P (Z< Z_{ \alpha }) =0.9}\)
b)\(\displaystyle{ P (Z< \left|Z_{ \alpha } \right| ) =0.95}\)
Rozkład normalny
-
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Rozkład normalny
Korzystamy z definicji dystrybuanty rozkładu normalnego.
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=\Phi(1,29) \Rightarrow Z_{\alpha}=1,29}\)
\(\displaystyle{ P(Z< \left|Z_{\alpha} \right| )=0,95 \Rightarrow P(-Z_{\alpha}<Z<Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})-\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})-1+\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow 2\Phi(Z_{\alpha})-1=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})=0,975 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})= \Phi(1,96) \Rightarrow Z_{\alpha}= 1,96}\)
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=\Phi(1,29) \Rightarrow Z_{\alpha}=1,29}\)
\(\displaystyle{ P(Z< \left|Z_{\alpha} \right| )=0,95 \Rightarrow P(-Z_{\alpha}<Z<Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})-\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})-1+\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow 2\Phi(Z_{\alpha})-1=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})=0,975 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})= \Phi(1,96) \Rightarrow Z_{\alpha}= 1,96}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Rozkład normalny
Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja określona wzorem
\(\displaystyle{ F(x) = P(X<x)}\)
czyli w naszym przypadku
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=F(Z_{\alpha})}\)
Ale wiemy, że \(\displaystyle{ Z \sim N(0,1)}\), a dystrybuantę takiego rozkładu oznaczamy przez \(\displaystyle{ \Phi(z)}\), zatem możemy napisać
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=\Phi (Z_{\alpha})}\).
i teraz szukamy takiej wartości \(\displaystyle{ Z_{\alpha}}\), że \(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=0,9}\). W tablicach rozkładu normalnego szukamy dla jakiego argumentu dystrybuanta ma wartość \(\displaystyle{ 0,9}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ 1,29}\). A więc mamy zależność:
\(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=\Phi (1,29)}\)
\(\displaystyle{ F(x) = P(X<x)}\)
czyli w naszym przypadku
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=F(Z_{\alpha})}\)
Ale wiemy, że \(\displaystyle{ Z \sim N(0,1)}\), a dystrybuantę takiego rozkładu oznaczamy przez \(\displaystyle{ \Phi(z)}\), zatem możemy napisać
\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=\Phi (Z_{\alpha})}\).
i teraz szukamy takiej wartości \(\displaystyle{ Z_{\alpha}}\), że \(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=0,9}\). W tablicach rozkładu normalnego szukamy dla jakiego argumentu dystrybuanta ma wartość \(\displaystyle{ 0,9}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ 1,29}\). A więc mamy zależność:
\(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=\Phi (1,29)}\)