Rozkład normalny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
RedSun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sie 2009, o 14:44
Płeć: Mężczyzna

Rozkład normalny

Post autor: RedSun »

Może ktoś wytłumaczyć jak to robić?

Zmienna losowa Z ma rozkład normalny N(0,1). Wyznaczyć \(\displaystyle{ Z_{ \alpha }}\) tak aby:

a)\(\displaystyle{ P (Z< Z_{ \alpha }) =0.9}\)
b)\(\displaystyle{ P (Z< \left|Z_{ \alpha } \right| ) =0.95}\)
Gotta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 729
Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 220 razy

Rozkład normalny

Post autor: Gotta »

Korzystamy z definicji dystrybuanty rozkładu normalnego.

\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=0,9 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})=\Phi(1,29) \Rightarrow Z_{\alpha}=1,29}\)

\(\displaystyle{ P(Z< \left|Z_{\alpha} \right| )=0,95 \Rightarrow P(-Z_{\alpha}<Z<Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})-\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})-1+\Phi(-Z_{\alpha})=0,95 \Rightarrow 2\Phi(Z_{\alpha})-1=0,95 \Rightarrow \\
\Phi(Z_{\alpha})=0,975 \Rightarrow \Phi(Z_{\alpha})= \Phi(1,96) \Rightarrow Z_{\alpha}= 1,96}\)
RedSun
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 31 sie 2009, o 14:44
Płeć: Mężczyzna

Rozkład normalny

Post autor: RedSun »

dalej nie wiem skąd wzięło sie 1,29 mogłabyś rozpisać ten wzór na dystrybuante?
Gotta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 729
Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 220 razy

Rozkład normalny

Post autor: Gotta »

Dystrybuanta zmiennej losowej X to funkcja określona wzorem

\(\displaystyle{ F(x) = P(X<x)}\)

czyli w naszym przypadku

\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=F(Z_{\alpha})}\)

Ale wiemy, że \(\displaystyle{ Z \sim N(0,1)}\), a dystrybuantę takiego rozkładu oznaczamy przez \(\displaystyle{ \Phi(z)}\), zatem możemy napisać

\(\displaystyle{ P(Z<Z_{\alpha})=\Phi (Z_{\alpha})}\).

i teraz szukamy takiej wartości \(\displaystyle{ Z_{\alpha}}\), że \(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=0,9}\). W tablicach rozkładu normalnego szukamy dla jakiego argumentu dystrybuanta ma wartość \(\displaystyle{ 0,9}\). Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ 1,29}\). A więc mamy zależność:
\(\displaystyle{ \Phi (Z_{\alpha})=\Phi (1,29)}\)
ODPOWIEDZ