proces Wienera, procesy stochastyczne

[tinwa]

Mam takie zadanko:
Wykaz, ze jesli W jest procesem Wienera, to procesam Wienera jest równiez
\(\displaystyle{ V_{t} = W_{T+t} - W_{T}}\)
gdzie T>0

Oczywiście mam przed sobą warunki na Bycie procesem Wienera, ale co dalej? Jak to udowodnić?
Ktoś ma jakis pomysł?

[bstq]

W1) \(\displaystyle{ P\left(W_{0}=0\right)=1}\)
W2) proces ma przyrosty niezależne \(\displaystyle{ W_{t_{1}}-W_{t_{0}}\bot W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}\)
oraz \(\displaystyle{ W_{t_{0}}\bot W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}\) dla \(\displaystyle{ 0\le t_{0}<t_{1}<t_{2}}\)
W3) proces ma przyrosty jednorodne \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}\overset{d}{=}W_{t-s}}\)
W4) \(\displaystyle{ W_{t}simmathcal{N}left(0,left(sqrt{t}
ight)^{2}
ight)\(\displaystyle{ ,
\(\displaystyle{ VarW_{t}=t}\)
A teraz weźmy proces \(\displaystyle{ V_{t}}\)
V1) \(\displaystyle{ P\left(V_{0}=0\right)=P\left(W_{T+0}-W_{T}=0\right)=P\left(W_{T}-W_{T}=0\right)\overset{W2)}{=}P\left(W_{T-T}=0\right)=P\left(W_{0}=0\right)\overset{W1)}{=}1}\)
V2) \(\displaystyle{ V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\bot V_{t_{2}}-V_{t_{1}}\Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T}-W_{T+t_{1}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T+t_{1}}}\)
- a to jest prawda, bo dla \(\displaystyle{ T+t_{0}<T+t_{1}<T+t_{2}}\) także zachodzi
W2)
\(\displaystyle{ V_{t_{0}}\bot V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}}\) -
a to jest prawda, bo
zdefiniujmy nowe \(\displaystyle{ 0\le\tilde{t}_{0}<\tilde{t}_{1}<\tilde{t}_{2}}\)
takie, że \(\displaystyle{ \tilde{t}_{0}=T,\;\tilde{t}_{1}=T+t_{0},\;\tilde{t}_{2}=T+t_{1}}\)
- dla nich jest także spełnione W2)
V3) \(\displaystyle{ V_{t}-V_{s}=W_{T+t}-W_{T}-W_{T+s}+W_{T}=W_{T+t}-W_{T+s}\overset{d}{\underset{W3)}{=}}W_{T+t-T-s}=W_{t-s}}\)
\(\displaystyle{ V_{t-s}=W_{T+t-s}-W_{T}\underset{d}{\overset{W3}{=}}W_{t-s}}\)
V4)
\(\displaystyle{ V_{t}=W_{T+t}-W_{t}\sim\mathcal{N}}\) (bo to kombinacja liniowa zmiennych
normalnych)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}V_{t}=\mathbb{E}W_{T+t}-\mathbb{E}W_{t}=0-0=0}\)
\(\displaystyle{ Var(V_{t})=\mathbb{E}V_{t}^{2}=\mathbb{E}\left(W_{T+t}-W_{T}\right)^{2}=\mathbb{E}W_{T+t}^{2}-2\mathbb{E}W_{T+t}W_{T}+\mathbb{E}W_{T}^{2}\overset{W4)}{=}T+t-2T+T=t}\),
bo:
\(\displaystyle{ K(s,t)=\mathbb{E}W_{s}W_{t}=\min\{s,t\}}\)}\)}\)

[tinwa]

o kurcze dzięki, patrząc na to wydaje sie takie skomplikowane! szczerze mowiąc to doszłam na podstawie tego do prostszego rozwiązania, więc dziękuję!
Może sie komus jeszcze przyda
POzdrawiam

[bstq]

wlasciwie wystarczyloby sprawdzic czy kowariancja tego procesu jest rowna min{k,s} (czyli czy proces jest procesem gaussowskim) a potem czy wartosc oczekiwana i wariancja sa takie same jak w procesie wienera

[moniac91]

A jak to będzie dla
\(\displaystyle{ W _{t} = t \cdot W _{ \frac{1}{t} }}\) ?
\(\displaystyle{ W _{0}=0}\)

[Alef]

To jest znacznie trudniejsze a dokładniej pokazanie niezależności przyrostów nie jest trywialne...