Mam takie zadanko:
Wykaz, ze jesli W jest procesem Wienera, to procesam Wienera jest równiez
\(\displaystyle{ V_{t} = W_{T+t} - W_{T}}\)
gdzie T>0
Oczywiście mam przed sobą warunki na Bycie procesem Wienera, ale co dalej? Jak to udowodnić?
Ktoś ma jakis pomysł?
proces Wienera, procesy stochastyczne
-
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
proces Wienera, procesy stochastyczne
W1) \(\displaystyle{ P\left(W_{0}=0\right)=1}\)
W2) proces ma przyrosty niezależne \(\displaystyle{ W_{t_{1}}-W_{t_{0}}\bot W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}\)
oraz \(\displaystyle{ W_{t_{0}}\bot W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}\) dla \(\displaystyle{ 0\le t_{0}<t_{1}<t_{2}}\)
W3) proces ma przyrosty jednorodne \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}\overset{d}{=}W_{t-s}}\)
W4) \(\displaystyle{ W_{t}simmathcal{N}left(0,left(sqrt{t}
ight)^{2}
ight)\(\displaystyle{ ,
\(\displaystyle{ VarW_{t}=t}\)
A teraz weźmy proces \(\displaystyle{ V_{t}}\)
V1) \(\displaystyle{ P\left(V_{0}=0\right)=P\left(W_{T+0}-W_{T}=0\right)=P\left(W_{T}-W_{T}=0\right)\overset{W2)}{=}P\left(W_{T-T}=0\right)=P\left(W_{0}=0\right)\overset{W1)}{=}1}\)
V2) \(\displaystyle{ V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\bot V_{t_{2}}-V_{t_{1}}\Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T}-W_{T+t_{1}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T+t_{1}}}\)
- a to jest prawda, bo dla \(\displaystyle{ T+t_{0}<T+t_{1}<T+t_{2}}\) także zachodzi
W2)
\(\displaystyle{ V_{t_{0}}\bot V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}}\) -
a to jest prawda, bo
zdefiniujmy nowe \(\displaystyle{ 0\le\tilde{t}_{0}<\tilde{t}_{1}<\tilde{t}_{2}}\)
takie, że \(\displaystyle{ \tilde{t}_{0}=T,\;\tilde{t}_{1}=T+t_{0},\;\tilde{t}_{2}=T+t_{1}}\)
- dla nich jest także spełnione W2)
V3) \(\displaystyle{ V_{t}-V_{s}=W_{T+t}-W_{T}-W_{T+s}+W_{T}=W_{T+t}-W_{T+s}\overset{d}{\underset{W3)}{=}}W_{T+t-T-s}=W_{t-s}}\)
\(\displaystyle{ V_{t-s}=W_{T+t-s}-W_{T}\underset{d}{\overset{W3}{=}}W_{t-s}}\)
V4)
\(\displaystyle{ V_{t}=W_{T+t}-W_{t}\sim\mathcal{N}}\) (bo to kombinacja liniowa zmiennych
normalnych)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}V_{t}=\mathbb{E}W_{T+t}-\mathbb{E}W_{t}=0-0=0}\)
\(\displaystyle{ Var(V_{t})=\mathbb{E}V_{t}^{2}=\mathbb{E}\left(W_{T+t}-W_{T}\right)^{2}=\mathbb{E}W_{T+t}^{2}-2\mathbb{E}W_{T+t}W_{T}+\mathbb{E}W_{T}^{2}\overset{W4)}{=}T+t-2T+T=t}\),
bo:
\(\displaystyle{ K(s,t)=\mathbb{E}W_{s}W_{t}=\min\{s,t\}}\)}\)}\)
W2) proces ma przyrosty niezależne \(\displaystyle{ W_{t_{1}}-W_{t_{0}}\bot W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}\)
oraz \(\displaystyle{ W_{t_{0}}\bot W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}\) dla \(\displaystyle{ 0\le t_{0}<t_{1}<t_{2}}\)
W3) proces ma przyrosty jednorodne \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}\overset{d}{=}W_{t-s}}\)
W4) \(\displaystyle{ W_{t}simmathcal{N}left(0,left(sqrt{t}
ight)^{2}
ight)\(\displaystyle{ ,
\(\displaystyle{ VarW_{t}=t}\)
A teraz weźmy proces \(\displaystyle{ V_{t}}\)
V1) \(\displaystyle{ P\left(V_{0}=0\right)=P\left(W_{T+0}-W_{T}=0\right)=P\left(W_{T}-W_{T}=0\right)\overset{W2)}{=}P\left(W_{T-T}=0\right)=P\left(W_{0}=0\right)\overset{W1)}{=}1}\)
V2) \(\displaystyle{ V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\bot V_{t_{2}}-V_{t_{1}}\Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T}-W_{T+t_{1}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}\bot W_{T+t_{2}}-W_{T+t_{1}}}\)
- a to jest prawda, bo dla \(\displaystyle{ T+t_{0}<T+t_{1}<T+t_{2}}\) także zachodzi
W2)
\(\displaystyle{ V_{t_{0}}\bot V_{t_{1}}-V_{t_{0}}\Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T}-W_{T+t_{0}}+W_{T}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow W_{T+t_{0}}-W_{T}\bot W_{T+t_{1}}-W_{T+t_{0}}}\) -
a to jest prawda, bo
zdefiniujmy nowe \(\displaystyle{ 0\le\tilde{t}_{0}<\tilde{t}_{1}<\tilde{t}_{2}}\)
takie, że \(\displaystyle{ \tilde{t}_{0}=T,\;\tilde{t}_{1}=T+t_{0},\;\tilde{t}_{2}=T+t_{1}}\)
- dla nich jest także spełnione W2)
V3) \(\displaystyle{ V_{t}-V_{s}=W_{T+t}-W_{T}-W_{T+s}+W_{T}=W_{T+t}-W_{T+s}\overset{d}{\underset{W3)}{=}}W_{T+t-T-s}=W_{t-s}}\)
\(\displaystyle{ V_{t-s}=W_{T+t-s}-W_{T}\underset{d}{\overset{W3}{=}}W_{t-s}}\)
V4)
\(\displaystyle{ V_{t}=W_{T+t}-W_{t}\sim\mathcal{N}}\) (bo to kombinacja liniowa zmiennych
normalnych)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}V_{t}=\mathbb{E}W_{T+t}-\mathbb{E}W_{t}=0-0=0}\)
\(\displaystyle{ Var(V_{t})=\mathbb{E}V_{t}^{2}=\mathbb{E}\left(W_{T+t}-W_{T}\right)^{2}=\mathbb{E}W_{T+t}^{2}-2\mathbb{E}W_{T+t}W_{T}+\mathbb{E}W_{T}^{2}\overset{W4)}{=}T+t-2T+T=t}\),
bo:
\(\displaystyle{ K(s,t)=\mathbb{E}W_{s}W_{t}=\min\{s,t\}}\)}\)}\)
proces Wienera, procesy stochastyczne
o kurcze dzięki, patrząc na to wydaje sie takie skomplikowane! szczerze mowiąc to doszłam na podstawie tego do prostszego rozwiązania, więc dziękuję!
Może sie komus jeszcze przyda
POzdrawiam
Może sie komus jeszcze przyda
POzdrawiam
-
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
proces Wienera, procesy stochastyczne
wlasciwie wystarczyloby sprawdzic czy kowariancja tego procesu jest rowna min{k,s} (czyli czy proces jest procesem gaussowskim) a potem czy wartosc oczekiwana i wariancja sa takie same jak w procesie wienera
proces Wienera, procesy stochastyczne
A jak to będzie dla
\(\displaystyle{ W _{t} = t \cdot W _{ \frac{1}{t} }}\) ?
\(\displaystyle{ W _{0}=0}\)
\(\displaystyle{ W _{t} = t \cdot W _{ \frac{1}{t} }}\) ?
\(\displaystyle{ W _{0}=0}\)
proces Wienera, procesy stochastyczne
To jest znacznie trudniejsze a dokładniej pokazanie niezależności przyrostów nie jest trywialne...