Witam,
Można prosić o rozwiązanie i krótkie wyjaśnienie ?:)
Wyznaczyć wartość c tak aby funkcja f(x) była gęstością zmiennej losowej. Obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancje
\(\displaystyle{ f(x)\begin{cases} 0,x<0 \\ x, x \in [0,c]\\0,x>c \end{cases}}\)
gęstość zmiennej losowej
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
gęstość zmiennej losowej
Aby f była funkcją gęstości, musi zachodzić warunek unormowania, tzn.
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x =1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x= \int_{-\infty}^0 0 \mbox{d}x+ \int_0^c x \mbox{d}x + \int_c^{+\infty}0 \mbox{d}x=1 \Rightarrow \frac{c^2}{2}=1 \Rightarrow c=\sqrt{2}}\)
A więc gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x<0 \wedge x>\sqrt{2} \\ x \qquad\text{dla }0 \le x \le \sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_0^{\sqrt{2}}x^2 \mbox{d}x =\frac{2\sqrt{2}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_0^{\sqrt{2}}x^3 \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X=1- \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) ^2=\frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x =1}\)
Zatem
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x) \mbox{d}x= \int_{-\infty}^0 0 \mbox{d}x+ \int_0^c x \mbox{d}x + \int_c^{+\infty}0 \mbox{d}x=1 \Rightarrow \frac{c^2}{2}=1 \Rightarrow c=\sqrt{2}}\)
A więc gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x<0 \wedge x>\sqrt{2} \\ x \qquad\text{dla }0 \le x \le \sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_0^{\sqrt{2}}x^2 \mbox{d}x =\frac{2\sqrt{2}}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_0^{\sqrt{2}}x^3 \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X=1- \left(\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) ^2=\frac{1}{9}}\)