rozklady, niezaleznosc, wspolczynnik korelacji - tabelka (?)

kira · Post autor: **kira** » 2 wrz 2009, o 14:39

I kolejny problem tym razem z takim zdaniem:

Rozklad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X,Y) przedstawia tablica (mam nadzieje ze jest czytelna ):

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
y \backslash x & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline
1 & 2/15 & 1/15 & 0 & 0 \\ \hline
2 & 2/15 & 1/5 & 0 & 0 \\ \hline
3 & 0 & 2/15 & 4/15 & 1/15 \\ \hline
\end{tabular}}$
^y
(ps jeszcze tylko sie dowiem jak w srodku zrobic ulamek...)
1) znaleźć rozlkady brzegowe
2) Sprawdzic czy x,y sa niezalezne
3) wyznaczyc rozklad warunkowy P(X|Y=3) oraz obliczyc E(X|Y=3)
4) obliczyc wspolczynnik korelacjip(X,Y)

jesli do kazdego z podpunktu mozna prosic o krotki komentarz "jak to dziala" bylbym bardzo wdzieczny.

Gotta · Post autor: **Gotta** » 2 wrz 2009, o 20:19

1. Rozkłady brzegowe:
$\displaystyle{ P(X=2)=\frac{2}{15}+\frac{2}{15}+0=\frac{4}{15}}$

$\displaystyle{ P(X=3)=\frac{1}{15}+\frac{3}{15}+\frac{2}{15}=\frac{6}{15}}$

$\displaystyle{ P(X=4)=0+0+\frac{4}{15}=\frac{4}{15}}$

$\displaystyle{ P(X=5)=0+0+\frac{1}{15}=\frac{1}{15}}$

dla Y liczymy podobnie

A więc ostatecznie rozkłady brzegowe są następujące:

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & 2& 3& 4& 5 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{4}{15} $& $\frac{6}{15}$ &$ \frac{4}{15}$ &$ \frac{1}{15}$ \\
\hline
\end{tabular}}$

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$y_i$& 1& 2& 3 \\
\hline
$P(Y=y_i)$ & $\frac{3}{15} $& $\frac{5}{15}$ &$ \frac{7}{15}$ \\
\hline
\end{tabular}}$

2. Zmienne losowe nie są niezależne, bo np

$\displaystyle{ P(X=2, Y=1)=\frac{2}{15} \neq \frac{12}{15}=P(X=2)\cdot P(Y=1)}$

3.

$\displaystyle{ P(X|Y=3)=\frac{P(X=k,Y=3)}{P(Y=3)}}$

$\displaystyle{ P(X=2|Y=3)=\frac{P(X=2,Y=3)}{P(Y=3)}=\frac{0}{\frac{7}{15}}}$

$\displaystyle{ P(X=3|Y=3)=\frac{P(X=3,Y=3)}{P(Y=3)}=\frac{\frac{2}{15}}{\frac{7}{15}}=\frac{2}{7}}$

$\displaystyle{ P(X=4|Y=3)=\frac{P(X=4,Y=3)}{P(Y=3)}=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{7}{15}}=\frac{4}{7}}$

$\displaystyle{ P(X=5|Y=3)=\frac{P(X=5,Y=3)}{P(Y=3)}=\frac{\frac{1}{15}}{\frac{7}{15}}=\frac{1}{7}}$

Można ten rozkład zapisać w tabeli

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &$ 2$& 3$& 4$&$ 5$ \\
\hline
$P(X=x_i|Y=3)$ & $0 $& $\frac{2}{7}$ &$ \frac{4}{7}$ &$ \frac{1}{7}$ \\
\hline
\end{tabular}}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}(X|Y=3)=2\cdot 0+3 \cdot \frac{2}{7}+4 \cdot \frac{4}{7}+5\cdot \frac{1}{7}}$

4.

$\displaystyle{ \rho=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{D}^2X\mathbb{D}^2Y}}}$

$\displaystyle{ \text{cov}(X,Y)=\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}X=2\cdot \frac{4}{15}+3 \cdot \frac{6}{15}+4 \cdot \frac{4}{15}+5\cdot \frac{1}{15}}$

$\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=2^2\cdot \frac{4}{15}+3^2 \cdot \frac{6}{15}+4^2 \cdot \frac{4}{15}+5^2 \cdot \frac{1}{15}}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}Y=1\cdot \frac{3}{15}+2 \cdot \frac{5}{15}+3 \cdot \frac{7}{15}}$

$\displaystyle{ \mathbb{D}^2Y=\mathbb{E}Y^2-\mathbb{E}^2Y}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}Y^2=1^2\cdot \frac{3}{15}+2^2 \cdot \frac{5}{15}+3 ^2\cdot \frac{7}{15}}$

$\displaystyle{ \mathbb{E}XY=1\cdot \left(2\cdot \frac{2}{15}+3 \cdot \frac{1}{15}+4 \cdot 0+5\cdot 0 \right) +2 \cdot \left( 2\cdot \frac{2}{15}+3 \cdot \frac{3}{15}+0+0\right) +3 \cdot \left(2\cdot 0+3 \cdot \frac{2}{15}+4 \cdot \frac{4}{15}+5\cdot \frac{1}{15} \right)}$

Teraz tylko wszystko trzeba ładnie obliczyć.

kira · Post autor: **kira** » 3 wrz 2009, o 11:25

dzieki wilkie ;D

a mozesz jeszcze tylko wyjasnic jak robi sie ta niezaleznosc? nigdzie nie moge znalezc sensownego wyjasnienia z Twojego zapisu nie moge odczytac jak sie to liczy...
Edit: oke juz mam