rozkład pstwa

[kemot25]

jaki rozklad ma \(\displaystyle{ |X_i|}\) jeśli \(\displaystyle{ X ~ N(0,1)}\)

[Gotta]

\(\displaystyle{ X \sim N(0,1)}\), czyli funkcja gęstości dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}}\)

Szukamy rozkładu zmiennej \(\displaystyle{ Y=|X|}\).

dla\(\displaystyle{ x>0}\):

\(\displaystyle{ F_Y(x)=P(Y<x)=P(|X|<x)=P(-x<X<x)=F_X(x)-F_X(-x)}\)

Różniczkujemy stronami:

\(\displaystyle{ F'_Y(x)=F'_X(x)+F'_X(-x)=f_X(x)+f_X(-x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ f_Y(x)=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\).


dla \(\displaystyle{ x<0}\)

\(\displaystyle{ F'_Y(x)=0}\), a więc \(\displaystyle{ f_Y(x)=0}\)

[kemot25]

dobra to jak jest wartość oczekiwana takiego rozkładu Y

[Gotta]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_{-\infty}^{+\infty}y\cdot \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} \mbox{d}y= 0}\)
bo funkcja podcałkowa jest nieparzysta.

[kemot25]

jesteś tego pewna tylko że całka po przedziale symetrzycznym względem 0 jest równa 0 na przyklad cała po x^3 od 0 do 1 nie jest rowna 0 mimo że funkcja nieparzysta, zresztą mówimy tutaj o całce od 0 do nieskończoności, poza tym lepiej żeby nie była rowna 0 bo to nie pasuje do zadania. ma takim ciągiem Y_n aproksymować \(\displaystyle{ 1\over \sqrt\pi}\) tutaj korzysta się z MPWL a wiec trzeba liczyć wartośc oczekiwaną

[Gotta]

Jestem pewna. Przedział jest symetryczny względem zera \(\displaystyle{ (-\infty, +\infty)}\), funkcja podcałkowa jest nieparzysta, zatem całka jest równa 0.
Jeśli Cię to nie przekonuje, to sprawdź jaką wartość oczekiwaną ma zmienna losowa mająca rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\)

[fizmo]

Akurat tutaj sie mylisz.
Granice całkowania (górna i dolna) niezależnie od siebie biegną do \(\displaystyle{ \pm\infty}\) dlatego \(\displaystyle{ 0}\) jest jedynie wartością główną tej całki to wiadomo od razu a całkę należy policzyć jako granicę podwójną. Może wyjść albo, że całka się zeruje albo, że jest rozbieżna.


Najpierw nieoznaczona:
\(\displaystyle{ \int y\cdot \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} \mbox{d}y = \begin{cases} t = -\frac{y^2}{2} \\ dt = -ydy \end{cases} = -\int \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^t \mbox{d}t = -\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}} + C}\)

A teraz granica:
\(\displaystyle{ \lim_{ (a,b) \to (-\infty,+\infty) }\left(-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{b^2}{2}} + \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{a^2}{2}} \right) = 0}\)

Jak widać zbiega do zera ale nieparzystość nie jest wystarczająca w takich przypadkach - wystarczy zbadać proste całki w takich granicach z chociażby : \(\displaystyle{ x ,\ \sin x}\)

Co prawda w podanym zadaniu trzeba policzyć trochę inną całkę (f-cja podcałkowa zeruje się dla \(\displaystyle{ x < 0}\) ), dlatego dostajemy w granicy:
\(\displaystyle{ \lim_{ b \to +\infty }\left(-\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{b^2}{2}} + \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{0^2}{2}} \right) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}}\)
Co istotnie jest różne od zera

[kemot25]

\(\displaystyle{ P(|X|<a)=P(-a<X<a)=P(X<a)-P(X<-a)}\) w przypadku rozkładu symetrycznego mamy
\(\displaystyle{ P(-a<X<a)=2P(X<a)-1}\) a więc jest \(\displaystyle{ |X| \sim \~ N(-1,4)}\) bo \(\displaystyle{ X \sim \~ N(0,1)}\) czemu takie rozumowanie jest złe?