Strzelanie do kaczek - Prawdopodobieństwo warunkowe?

[kira]

Witam mam problem z zadaniem dosc prostym jednak brak wczesniejszego doswiadczenia nieco utrudnia mi rozwiazanie.
Oto ono:

Prawdopodobienstwo zestrzelenia kaczki przy jednym strzale wynosi p= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\). Pięciu myśliwych strzela niezaleznie do jednej kaczki. Jakie jest prawdopodobienstwo ze zestrzela kaczke?

czy to ma wyglądać tak?:

P1= \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
P2=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
P3=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)8\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
P4=\(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\)*\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
P5=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

i P=P1+P2+P3+P4+P5 ?

[Goter]

Proponuję Schemat Bernouliego- zwykłe podstawienie do wzoru.

[kira]

czyli wedlug wzoru:

\(\displaystyle{ P_{n}}\)(k)=\(\displaystyle{ {n \choose k}}\)* \(\displaystyle{ p^{k}}\) *\(\displaystyle{ q ^{n-k}}\)

czyli
n=5
p=1/3
k= 1 (?)
q=2/3

dostajemy:
\(\displaystyle{ P_{5}}\)(1)=\(\displaystyle{ {5 \choose 1}}\)* \(\displaystyle{ (1/3)^{1}}\) *\(\displaystyle{ (2/3) ^{5-1}}\)

i po obliczeniu dostaje 7,8(?) dobrze?

[Gotta]

No nie do końca. Obliczyłeś prawdopodobieństwo, że kaczka zostanie trafiona dokłanie raz.

A - kaczka zostanie trafiona = Co najmniej jeden strzelec trafi kaczką
A' - żaden strzelec nie trafi kaczki
\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')}\)
Korzystamy ze schematu Bernoulliego. Liczba prób - \(\displaystyle{ n=5}\), liczba sukcesów - 0 (bo liczymy prawdopodobieństwo, że kaczka nie zostanie trafiona), prawdopodobieńśtwo sukcesu w pojedynczej próbie - \(\displaystyle{ p=\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-P(A')=1- {5 \choose 0} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^0\cdot \left( \frac{2}{3} \right)^5=1-\left( \frac{2}{3} \right)^5}\)