Problem jest następujący:
Mam n rzutów kością symetryczną zwykłą 6-elementową (czyli 1,2,3,4,5,6)
Liczbę k, którą zawsze mogę wyrzucić za pomocą n rzutów tej kostki
Potrzebuje znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby k z sumy wartości oczek n rzutów kością
Jakaś pomoc ?
Rzuty kością a suma elementów wyrzuconych
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Rzuty kością a suma elementów wyrzuconych
Pytamy ile jest zdarzeń sprzyjających, czyli ile jest rozwiązań w liczbach \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6\}}\) równania:
\(\displaystyle{ a_1+a_2+ \dots + a_n = k}\)
(\(\displaystyle{ a_i}\) to wynik \(\displaystyle{ i}\)-tego rzutu).
Można to policzyć przy użyciu funkcji tworzących, zwanych w tym wypadku enumeratorami. Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ r_k}\) (czyli liczby rozwiązań tego równania) jest:
\(\displaystyle{ f(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n}\)
Trzeba więc policzyć co w tym wyrażeniu stoi przy \(\displaystyle{ x^k}\) (to będzie właśnie szukana odpowiedź).
Mamy:
\(\displaystyle{ f(x)= x^n (1-x^6)^n(1-x)^{-n}=x^n \left( \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} (-1)^i x^{6i} \right)
\left( \sum_{i=0}^{\infty} {i +n-1 \choose n-1} x^{i} \right)}\)
Mi wyszło, że przy \(\displaystyle{ x^k}\) stoi tu suma:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} (-1)^i {k-6i-1 \choose n-1}}\)
ale nie mam szybkiego pomysłu na przedstawienie jej w postaci zwartej. W każdym razie to właśnie jest nasza szukana liczba rozwiązań.
Q.
\(\displaystyle{ a_1+a_2+ \dots + a_n = k}\)
(\(\displaystyle{ a_i}\) to wynik \(\displaystyle{ i}\)-tego rzutu).
Można to policzyć przy użyciu funkcji tworzących, zwanych w tym wypadku enumeratorami. Funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ r_k}\) (czyli liczby rozwiązań tego równania) jest:
\(\displaystyle{ f(x) = (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n}\)
Trzeba więc policzyć co w tym wyrażeniu stoi przy \(\displaystyle{ x^k}\) (to będzie właśnie szukana odpowiedź).
Mamy:
\(\displaystyle{ f(x)= x^n (1-x^6)^n(1-x)^{-n}=x^n \left( \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} (-1)^i x^{6i} \right)
\left( \sum_{i=0}^{\infty} {i +n-1 \choose n-1} x^{i} \right)}\)
Mi wyszło, że przy \(\displaystyle{ x^k}\) stoi tu suma:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} (-1)^i {k-6i-1 \choose n-1}}\)
ale nie mam szybkiego pomysłu na przedstawienie jej w postaci zwartej. W każdym razie to właśnie jest nasza szukana liczba rozwiązań.
Q.
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Rzuty kością a suma elementów wyrzuconych
Jeśli prosisz o rozwiązanie bez użytych tu narzędzi, to nie umiem, a co więcej mniemam, że się nie da (choć mogę się mylić). Jeśli zaś prosić o objaśnienie co to za narzędzia, to polecam , ewentualnie książkę Matematyka konkretna.
Q.
Q.