wartosc oczekiwana
-
- Użytkownik
- Posty: 696
- Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: marki
- Podziękował: 165 razy
- Pomógł: 20 razy
wartosc oczekiwana
Nieruchomy punkt \(\displaystyle{ O}\) znajduje się na wysokości \(\displaystyle{ h}\) nad końcem \(\displaystyle{ A}\) poziomego odcinka \(\displaystyle{ AK}\) o długości \(\displaystyle{ m}\). Na odcinku \(\displaystyle{ AK}\) znajduje sie punkt \(\displaystyle{ X}\), którego wszystkie położenie na tym odcinku są jednakowo prawdopodobne. Oblicz wartość oczekiwaną kata miedzy odcinkami \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OA}\).
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
wartosc oczekiwana
Niech \(\displaystyle{ \xi}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,m]}\), odpowiadającą za położeniu punktu \(\displaystyle{ X}\), na odcinku \(\displaystyle{ AK}\).
Wówczas, odnosząc się do \(\displaystyle{ \triangle OA\xi}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \frac{\xi}{h}=\tg{\alpha}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \alpha=\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ E\alpha=E\left(\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}\right)=\int\limits_0^{m}\frac{1}{m}\cdot\arctan{\left(\ \frac{x}{h}\right)}\mbox{ dx}}\)
Wówczas, odnosząc się do \(\displaystyle{ \triangle OA\xi}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \frac{\xi}{h}=\tg{\alpha}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \alpha=\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ E\alpha=E\left(\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}\right)=\int\limits_0^{m}\frac{1}{m}\cdot\arctan{\left(\ \frac{x}{h}\right)}\mbox{ dx}}\)