wartosc oczekiwana

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
marek12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 696
Rejestracja: 5 lut 2008, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: marki
Podziękował: 165 razy
Pomógł: 20 razy

wartosc oczekiwana

Post autor: marek12 »

Nieruchomy punkt \(\displaystyle{ O}\) znajduje się na wysokości \(\displaystyle{ h}\) nad końcem \(\displaystyle{ A}\) poziomego odcinka \(\displaystyle{ AK}\) o długości \(\displaystyle{ m}\). Na odcinku \(\displaystyle{ AK}\) znajduje sie punkt \(\displaystyle{ X}\), którego wszystkie położenie na tym odcinku są jednakowo prawdopodobne. Oblicz wartość oczekiwaną kata miedzy odcinkami \(\displaystyle{ OX}\) i \(\displaystyle{ OA}\).
Awatar użytkownika
kuch2r
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2302
Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 408 razy

wartosc oczekiwana

Post autor: kuch2r »

Niech \(\displaystyle{ \xi}\) będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ [0,m]}\), odpowiadającą za położeniu punktu \(\displaystyle{ X}\), na odcinku \(\displaystyle{ AK}\).
Wówczas, odnosząc się do \(\displaystyle{ \triangle OA\xi}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \frac{\xi}{h}=\tg{\alpha}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \alpha=\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ E\alpha=E\left(\arctan{\left(\ \frac{\xi}{h}\right)}\right)=\int\limits_0^{m}\frac{1}{m}\cdot\arctan{\left(\ \frac{x}{h}\right)}\mbox{ dx}}\)
ODPOWIEDZ