Jaki wykorzystać rozkład do obliczenia całki Metodą monte Carlo
\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-tp}}{(1+e^{-t})} dt}\) gdzie \(\displaystyle{ p>0}\)
metoda monte carlo
-
jovante
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
metoda monte carlo
Możesz użyć wielu rozkładów...
1. Jeżeli założysz, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, to powyższą całkę policzysz jako wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\frac{e^{-Xp-1}}{1+e^{-X}}}\) przy wykorzystaniu faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{e^{-X_{i}p-1}}{1+e^{-X_{i}}} }{n}=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xp}}{1+e^{-x}}dx}\) (MPWL).
W celu uzyskania zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1 wystarczy skorzystać z faktu, że jeżeli zmienna \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na przedziale (0;1), to zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=-lnU}\) ma rozkład Exp(1).
2. Można też zauważyć, że rozpatrywana całka po zamianie zmiennych jest równa całce \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx}\) i wykorzystać fakt, że całka ta jest równa \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i^{p-1}}{n(1+X_i)}}\) dla \(\displaystyle{ X}\) pochodzącego z rozkładu jednostajnego na odcinku \(\displaystyle{ (0;1)}\).
1. Jeżeli założysz, że zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, to powyższą całkę policzysz jako wartość oczekiwaną zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=\frac{e^{-Xp-1}}{1+e^{-X}}}\) przy wykorzystaniu faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=1}^{n} \frac{e^{-X_{i}p-1}}{1+e^{-X_{i}}} }{n}=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-xp}}{1+e^{-x}}dx}\) (MPWL).
W celu uzyskania zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem 1 wystarczy skorzystać z faktu, że jeżeli zmienna \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład jednostajny na przedziale (0;1), to zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=-lnU}\) ma rozkład Exp(1).
2. Można też zauważyć, że rozpatrywana całka po zamianie zmiennych jest równa całce \(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx}\) i wykorzystać fakt, że całka ta jest równa \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{X_i^{p-1}}{n(1+X_i)}}\) dla \(\displaystyle{ X}\) pochodzącego z rozkładu jednostajnego na odcinku \(\displaystyle{ (0;1)}\).