Szansa że X>Y gdzie X i Y to dwa zbiory liczb

[Tarczyn]

Mam dwa zbiory liczb.
\(\displaystyle{ X: (x1,x2)

Y: (y1,y2)}\)

Otóż potrzebuję wiedzieć jakie są % szanse na to, że wylosowana liczba ze zbioru X jest większa od liczby ze zbioru Y.

Czyli przykładowo mam coś takiego
\(\displaystyle{ X: (50,100)

Y: (20,70)}\)
Jakie są szanse że X>Y ?

[Zordon]

google -> prawdopodobieństwo geometryczne.

[alchemik]

Według mnie, aczkolwiek proszę o zwerfikowanie tego postu, to będzie mniej więcej wyglądać tak.

1) Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ (20,50]}\) ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ (50,100)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest równe \(\displaystyle{ 1}\).
Zatem w tym przypadku prawdopodobieństwo tego, że liczba wylosowana ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest większa od wylosowanej ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe: \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)

2) Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ (50,70)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ [70,100)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\).
Zatem w tym przypadku prawdopodobieństwo tego, że liczba wylosowana ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest większa od wylosowanej ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe: \(\displaystyle{ \frac{6}{25}}\)

3) Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ (50,70)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\).
Prawdopodobieństwo wylosowania liczby z przedziału \(\displaystyle{ (50,70)}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest równe \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\).
Zatem w tym przypadku prawdopodobieństwo tego, że liczba wylosowana ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest większa od wylosowanej ze zbioru \(\displaystyle{ Y}\) jest równe: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}}\)

Sumując wszystko otrzymujesz \(\displaystyle{ \frac{23}{25}}\).


Możesz też próbować, znaleźć przedział w którym zbiór \(\displaystyle{ Y}\) może być większy od zbioru \(\displaystyle{ X}\) i odjąc obliczony wynik od 1. W tym przypadku wystarczy tylko ograniczyć się do przypadku 3).

[Tarczyn]

Alchemik: Stokrotne dzięki! O to mi chodziło

Miłego dnia życze

[Qń]

Przedstawione rozwiązane jest poprawne, ale prościej jest narysować na płaszczyźnie prostokąt \(\displaystyle{ \{ (x,y) \ : \ 50 \leq x \leq 100, 20 \leq y \leq 70 \}}\) i sprawdzić jaka jego część leży pod prostą \(\displaystyle{ y=x}\). Istotnie jest to \(\displaystyle{ \frac{23}{25}}\) całego prostokąta i tyle też wynosi szukane prawdopodobieństwo.

Q.

[Tarczyn]

Prawdę rzekłszy to nie wiem jakbym mógł to wykorzystać to co Qń napisał. Ale już sobie przerobiłem pod własne cele to co kolega Alchemik napisał i sprawdza się świetnie. Nie mniej jednak też dziękuję za drugie rozwiązanie

[Qń]

Rozważany zbiór zapisujemy na płaszczyźnie jako zbiór par punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\). Wychodzi prostokąt (a nawet kwadrat). W tym kwadracie zaznaczamy punkty dla których \(\displaystyle{ x>y}\) - to punkty poniżej prostej \(\displaystyle{ y=x}\). I używamy prawdopodobieństwa geometrycznego - prawdopodobieństwo trafienia w zbiór \(\displaystyle{ A}\) będący podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) jest równe pole: \(\displaystyle{ A}\) podzielone przez pole \(\displaystyle{ \Omega}\) (ogólniej: miara). W naszym wypadku pole całości to \(\displaystyle{ 25}\), a pole kawałka figury z pasującymi nam punktami to \(\displaystyle{ 23}\). Zatem prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{23}{25}}\).

Q.