losowanie monet

[Yenneferzyca]

W jednej szkatułce są 3 monety złote i 1 srebrna, a w drugiej 2 złote i 2 srebrne. Masz prawo wybrać jedną z tych szkatułek,a przedtem możesz dokonać próbnego losowania 2 monet z jednej z nich. Wylosowałeś 2 różne monety. Którą szkatułkę wybierasz? Oceń prawdopodobieństwo, że Twój wybór był trafny.

Proszę niech ktoś rozpisze to zadanie, ale tam żebym była wstanie je zrozumieć Dzięki

[silicium2002]

Ponieważ w każdej szkatułce są cztery monety to z każdej z nich możemy wylosować 6 rożnych par (odróżniamy jedną złotą monetę od drugiej itp.) monet. W pierwszej szkatułce są trzy możliwości wylosowania dwóch różnych monet a więc prawdopodobieństwo to 3/6 = 1/2. W drugiej zaś aż cztery a więc prawdopodobieństwo wynosi 4/6 = 2/3. Teraz ponieważ P(a) < P(b) (a - to wylosowanie dwóch różnych monet pierwszej szkatułki, b drugiej, a P () to oczywiście prawdopodobieństwo). To jest większa szansa że wyciągnęliśmy monety z drugiej szkatułki. Tak więc wybierzemy szkatułkę inną niż tą z której losowaliśmy. Co do drugiej części nie jestem pewien ale wydaje mi się że to prawdopodobieństwo to 4/7, gdyż mamy siedem możliwości wylosowania różnych monet i wybraliśmy szkatułkę gdzie wg nas są trzy taki możliwości a więc zostaje 7-3/7 = 4/7. Ale tu niech lepiej ktoś z mądrych tego forum się wypowie...

Wszystko zrozumiano

[lina2002]

Bardziej formalnie:
\(\displaystyle{ A}\) - 3 złote i 1 srebrna
\(\displaystyle{ B}\) - 2 złote i 2 srebrne
\(\displaystyle{ W}\) - wylosowaliśmy 2 różne monety
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch różnych monet pod warunkiem, że losowaliśmy ze szkatułki \(\displaystyle{ A}\) wynosi: \(\displaystyle{ P(W|A)= \frac{ {3 \choose 1} }{ {4 \choose 2} }= \frac{1}{2}}\), a że ze szkatułki \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ P(W|B)= \frac{ {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} }{ {4 \choose 2} }= \frac{2}{3}}\). Ponieważ prawdopodobieństwo wylosowania dwóch monet jest wyższe dla szkatułki \(\displaystyle{ B}\), więc wybieramy drugą szkatułkę (nie tę, z której losowaliśmy). Prawdopodobieństwo, że wybór jest trafny jest równe prawdopodobieństwu, że losowaliśmy ze szkatułki \(\displaystyle{ B}\) pod warunkiem, że wylowaliśmy dwie różne monety, czyli \(\displaystyle{ P(B|W)= \frac{ \frac{2}{3} }{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}}}\) (w razie wątpliwości patrz:wzór na prawdopodobieństwo całkowite).

Pozdrawiam.

[silicium2002]

Bardziej formalnie:
\(\displaystyle{ A}\) - 3 złote i 1 srebrna
\(\displaystyle{ B}\) - 2 złote i 2 srebrne
\(\displaystyle{ W}\) - wylosowaliśmy 2 różne monety
Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch różnych monet pod warunkiem, że losowaliśmy ze szkatułki \(\displaystyle{ A}\) wynosi: \(\displaystyle{ P(W|A)= \frac{ {3 \choose 1} }{ {4 \choose 2} }= \frac{1}{2}}\), a że ze szkatułki \(\displaystyle{ B}\): \(\displaystyle{ P(W|B)= \frac{ {2 \choose 1} \cdot {2 \choose 1} }{ {4 \choose 2} }= \frac{2}{3}}\). Ponieważ prawdopodobieństwo wylosowania dwóch monet jest wyższe dla szkatułki \(\displaystyle{ B}\), więc wybieramy drugą szkatułkę (nie tę, z której losowaliśmy). Prawdopodobieństwo, że wybór jest trafny jest równe prawdopodobieństwu, że losowaliśmy ze szkatułki \(\displaystyle{ B}\) pod warunkiem, że wylowaliśmy dwie różne monety, czyli \(\displaystyle{ P(B|W)= \frac{ \frac{2}{3} }{ \frac{1}{2}+ \frac{2}{3}}}\) (w razie wątpliwości patrz:wzór na prawdopodobieństwo całkowite).

Pozdrawiam.

O czyli dobrze zrobiłem nawet bez znajomości ostatniego wzoru ^^ Ale zawsze warto się czegoś nowego nauczyć

[Yenneferzyca]

TAK

Dzięki, druga cześć jest chyba ok bo jest dobra odpowiedź
W życiu bym na to sama nie wpadła!

Pozdrawiam