Zadanie: "Czas poszukiwania rozbitka przez każdy z dwóch samolotów ma rozkład wykładniczy odpowiednio z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz \(\displaystyle{ \mu}\). Samoloty szukają rozbitka niezależnie od siebie. Znaleźć średni czas potrzebny do odnalezienia rozbitka przez którykolwiek samolot."
Rozkład wykładniczy to oczywiście rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, \ dla \ x < 0 \\ \lambda e^{-\lambda x}, \ dla \ x \ge 0 \end{cases}}\)
Interesuje mnie przede wszystkim, jak w takim przypadku będzie wyglądał rozkład "wspólnego" czasu poszukiwania dla obydwu samolotów.
Dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym
Niech
\(\displaystyle{ \xi,\eta}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, odpowiednio z parametrami \(\displaystyle{ \lambda, \ \mu}\).
Czas potrzebny na znalezienie rozbitka przez którykolwiek samolot będzie zmienna losową \(\displaystyle{ \gamma}\), taką że \(\displaystyle{ \gamma=\min{(\xi,\eta)}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ F_{\gamma}(t)=P(\gamma\leq t)=P(\min{(\xi, \eta)}\leq t)=\\=1-P(\min{(\xi, \eta)}>t)=1-P(\xi>t)P(\eta>t))=\\=1-(1-F_\xi(t))(1-F_\eta(t))}\)
Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ E\left(\gamma\right)}\)
\(\displaystyle{ \xi,\eta}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, odpowiednio z parametrami \(\displaystyle{ \lambda, \ \mu}\).
Czas potrzebny na znalezienie rozbitka przez którykolwiek samolot będzie zmienna losową \(\displaystyle{ \gamma}\), taką że \(\displaystyle{ \gamma=\min{(\xi,\eta)}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ F_{\gamma}(t)=P(\gamma\leq t)=P(\min{(\xi, \eta)}\leq t)=\\=1-P(\min{(\xi, \eta)}>t)=1-P(\xi>t)P(\eta>t))=\\=1-(1-F_\xi(t))(1-F_\eta(t))}\)
Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ E\left(\gamma\right)}\)
Dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym
W jaki sposob dokonales tych przeksztalcen, szczegolnie tego za drugim znakiem "="?kuch2r pisze:Niech
\(\displaystyle{ P(\min{(\xi, \eta)}\leq t)=1-P(\min{(\xi, \eta)}>t)=1-P(\xi>t)P(\eta>t)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 16 paź 2008, o 21:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ełk
- Pomógł: 4 razy
Dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym
To może ja się wtrącę:)
Jeżeli minimum z dwóch liczb jest większe od t to każda z nich jest większa, a że obie zmienne są niezależne to mamy to co jest po drugim znaku =
Jeżeli minimum z dwóch liczb jest większe od t to każda z nich jest większa, a że obie zmienne są niezależne to mamy to co jest po drugim znaku =