Dwie zmienne o rozkładzie wykładniczym

[Majorkan]

Zadanie: "Czas poszukiwania rozbitka przez każdy z dwóch samolotów ma rozkład wykładniczy odpowiednio z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz \(\displaystyle{ \mu}\). Samoloty szukają rozbitka niezależnie od siebie. Znaleźć średni czas potrzebny do odnalezienia rozbitka przez którykolwiek samolot."

Rozkład wykładniczy to oczywiście rozkład o gęstości \(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0, \ dla \ x < 0 \\ \lambda e^{-\lambda x}, \ dla \ x \ge 0 \end{cases}}\)

Interesuje mnie przede wszystkim, jak w takim przypadku będzie wyglądał rozkład "wspólnego" czasu poszukiwania dla obydwu samolotów.

[kuch2r]

Niech
\(\displaystyle{ \xi,\eta}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, odpowiednio z parametrami \(\displaystyle{ \lambda, \ \mu}\).
Czas potrzebny na znalezienie rozbitka przez którykolwiek samolot będzie zmienna losową \(\displaystyle{ \gamma}\), taką że \(\displaystyle{ \gamma=\min{(\xi,\eta)}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ F_{\gamma}(t)=P(\gamma\leq t)=P(\min{(\xi, \eta)}\leq t)=\\=1-P(\min{(\xi, \eta)}>t)=1-P(\xi>t)P(\eta>t))=\\=1-(1-F_\xi(t))(1-F_\eta(t))}\)
Dalej wystarczy policzyć \(\displaystyle{ E\left(\gamma\right)}\)

[wolk]

Niech
\(\displaystyle{ P(\min{(\xi, \eta)}\leq t)=1-P(\min{(\xi, \eta)}>t)=1-P(\xi>t)P(\eta>t)}\)

W jaki sposob dokonales tych przeksztalcen, szczegolnie tego za drugim znakiem "="?

[ahaswer22]

To może ja się wtrącę:)
Jeżeli minimum z dwóch liczb jest większe od t to każda z nich jest większa, a że obie zmienne są niezależne to mamy to co jest po drugim znaku =

[wolk]

A jak zostalo dokonane pierwsze przeksztalcenie?

[Majorkan]

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A wynosi 1-P(A).