Jaki rozklad ma zmienna Y = 1 - X

[wolk]

mam ciagla zmienna losowa X, ktorej gestosc pstwa wynosi
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 1,~0 < x < 1 \\ 0,~dla~pozostalych \end{cases}}\)

mam sprawdzic, ze zmienna Y = 1 - X ma taka sama gestosc pstwa. jak zmienna X. Niestety zupelnie nie wiem jak zabrac sie do tego zadania, mimo, ze reszte zadan z podrozdialu zrobilem. Prosilbym o jakas mala podpowiedz. Do tego zadania jest takze podpunkt b z trudniejsza funkcja
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} e^{-x},~x>0\\ x,~dla~pozostalych \end{cases}}\) i wyznaczyc mam gestosc zmiennej \(\displaystyle{ Y = \sqrt{X}}\), wiec prosilbym o taka podpowiedz abym byl tez w stanie zrobic druga czesc zadania.

[liu]

Zauważ, że \(\displaystyle{ P(a \leq Y \leq b) = P( a \leq 1-X \leq b) = P( 1-b \leq X \leq 1-a) = \int_{1-b}^{1-a} f(x)dx = \int_a^b f(1-x) dx.}\)

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ g(x) = f(1-x)}\) jest gęstością zmiennej losowej Y (gdzieś w okolicach wykładu będzie fakt, że nie trzeba sprawdzać dla dowolnego zbioru borelowskiego, a wystarczy dla przedziału).

Ponieważ f(1-x) = f(x) (bo \(\displaystyle{ 0<x<1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 0 < 1-x < 1}\)), no to te gęstości są takie same (z dokładnością do zbioru miary zero, bo tylko z taką dokładnością wyznaczona jest gęstość).

[wolk]

ok, zaraz sproboje tego sposobu z druga funkcja, ktora dopisalem. Nie rozumiem jednak jak przeszedlec od calki, ktora jest przedostatnia czescia tego wyrazenia do tej ostatniej calki.-- 11 sie 2009, o 21:14 --

Ponieważ f(1-x) = f(x) (bo \(\displaystyle{ 0<x<1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ 0 < 1-x < 1}\)), no to te gęstości są takie same (z dokładnością do zbioru miary zero, bo tylko z taką dokładnością wyznaczona jest gęstość).

Czy tu nie wystarczy wykorzystac faktu, ze funkcja jest stala na tym przedziale?

[liu]

Od całki do całki przeszedłem stosując podstawienie t = 1-x

I tak, wystarczy.

A, ogólnie to jest wzór na takie zabawy z gęstością który uogólnia to, co ja tam wyżej zrobiłem (całkowanie przez podstawienie), jest gdzieś tam na dole ... y_function (nie chce mi się przepisywać:P).

[wolk]

Dzieki bardzo mi pomogles. Odnosnie tego wzoru to domyslam sie ze chodzi ci o to . Jednak najbardziej przydatna wydaje mi sie ta manipulacja
\(\displaystyle{ P(a \leq Y \leq b) = P( a \leq 1-X \leq b)}\)
nie przypuszczalem, ze mozna tak zrobic, a w moim skrypcie nigdzie nie jest napisane ze mozna dokonywac takich podstawien. Gdybym chodzil na jakies cwiczenia pewnie bym o tym wiedzial ale ucze sie na wlasna reke, wiec wychodza takie braki.