dystrybuanta - nierówność domknięta a niedomknięta

[astro41]

Witam
Mam oto taki problem:
Jeśli dla liczb:
2 prawdopodobieństwo to 0.2
3 - 0,4
4 - 0,3
5 - 0,1

Więc dla:
\(\displaystyle{ x\leqslant 2 \ F(x) = 0}\)
\(\displaystyle{ 2 < x\leqslant 3 \ F(x) = 0,2}\)
\(\displaystyle{ 3 < x\leqslant 4 \ F(x) = 0,6}\)
\(\displaystyle{ 4 < x\leqslant 5 \ F(x) = 0,9}\)
\(\displaystyle{ x > 5 \ F(x) = 1}\)

Tak jest napisane w książce. Nie rozumiem dlaczego dla dla \(\displaystyle{ x\leqslant 2}\) F(x) = 0 . Przecież x jest mniejsze lub równe 2 więc dlaczego wartość dla dwóch (0,2) już odpada? To samo tyczy się następnych przypadków gdzie jest mniejsze lub równe.
Starałem się znaleźć odpowiedź w różnych miejscach, raz jest nierówność domknięta raz niedomknięta a wynik ten sam...
Siedzę nad tym prawdopodobieństwem i jak jakieś pytanie mnie dręczy to nie mogę przejść dalej
Pozdrawiam i dziękuję za zainteresowanie.

[scyth]

Powinno być tak jak podejrzewasz, czyli
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{cc}
0 & \quad x < 2 \\
0,2 &\quad x \in [2,3) \\
0,6 &\quad x \in [3,4) \\
0,9 &\quad x \in [4,5) \\
1 &\quad x \ge 5
\end{array}\right.}\)

[Emiel Regis]

raz jest nierówność domknięta raz niedomknięta a wynik ten sam...

Jak masz na myśli przedział w definicji dystrybuanty (nierówność może być słaba albo ostra, przedział jest domknięty albo niedomkniety) to wynik wtedy jest oczywiscie inny.

Osobiście jestem przyzwyczajony do df dystrybuanty takiej jaką stosuje scyth (czyli jako funkcje typu cadlag), jednak warto pamiętać, że nierzadko inną się przyjmuje. Tj. mając na prostej rozkład P, zamiast definiować dystrybuantę jako funkcję \(\displaystyle{ F_P(x) := P(-\infty,x]}\) definiuje się ją jako \(\displaystyle{ F_P(x) := P(-\infty,x)}\) co oczywiście nie jest błędem i wtedy odpowiedz podana w książce jest jak najbardziej poprawna.

[astro41]

To denerwujące Bo gdy robię zadanie to wg zasady scytha powstaje inny wykres niż wg definicji książkowej (mam na myśli domknięcia) i gdy np mam znaleźć\(\displaystyle{ P(3 \le X <4,5)}\) to jeśli się nie mylę muszę się stosować do innych zasad w poszczególnych przypadkach.

Stosując domknięcia takie jak napisał scyth to wg wykresu wychodzi 0,9 - 0,6 = 0,3
Stosując się do zasad w książce wychodzi 0,9 - 0,2 = 0,7
Wg książkowej definicji \(\displaystyle{ P(a \le X <b) = F(b) - F(a)}\) i na wykresie tam gdzie dałbym otwarty przedział jest domknięcie )

Nie wiem czy moje rozumowanie jest prawidłowe

Pozdrawiam

[Emiel Regis]

Może uporządkuję, z tego co widzę u Ciebie w książce jest taka definicja dystrybuanty dla zmiennej losowej X:

\(\displaystyle{ \boxed{F_X(x) := P(X < x)}}\)

natomiast alternatywna (częstsza) df zwana przez Ciebie zasadą scytha jest taka:

\(\displaystyle{ F_X(x) := P(X \le x)}\)

Z racji, że posługujesz się książką jaką się posługujesz to do dalszych rozważań radzę Ci przyjąć tylko i wyłącznie pierwszą definicję, którą masz specjalnie w ramce, o drugiej zapomnij żeby sobie nie mylić. Teraz już pójdzie łatwo...

\(\displaystyle{ P(a \le X < b) = P( X \in [a,b)) = P(X < b) - P(X < a)}\)

To co napisałem powyżej jest prawdziwe zawsze i wszędzie. Jeśli tego nie widzisz to narysuj w zeszycie prostą, zaznacz na niej wszystkie pojawiające się powyżej zbiory. Następnie spójrz na książkową definicję dystrybuanty, a zobaczysz kolejną równość:

\(\displaystyle{ P(a \le X < b) = P( X \in [a,b)) = P(X < b) - P(X < a)=:F(b) - F(a)}\)