Matematyka.pl

Dane są zdarzenie A- w sześciu rzutach kostką każda liczba oczek (1,2,3,4,5,6) wypadnie dokładnie jeden raz oraz zdarzenie B- w siedmiu rzutach kostką każda liczba oczek (1,2,3,4,5,6) wypadnie przynajmniej jeden raz. Wykonując odpowiednie obliczenia, wykaż, że prawdopodobieństwo zdarzenia B jest o 250% większe od prawdopodobieństwa zdarzenia A.

W modelu odp.:
zdarzenie A
omega to \(\displaystyle{ 6^{6}}\) (rozumiem, że to wariacja z powtórzeniami)
A=6! (permutacja dlaczego? stawiałam na wariację bez powtórzeń- w zadaniu: 'liczba wypadnie dokładnie jeden raz')

zdarzenie B
omega \(\displaystyle{ 6^{7}}\)
B \(\displaystyle{ \frac{7!}{2!}6}\) <= czy ktoś może wyjaśnić skąd się to cudo wzięło ?

W zdarzeniu A masz permutację, bo na 6! sposobów możesz rozmieścić to 6 różnych wyników.

doreh pisze: zdarzenie A
omega to \(\displaystyle{ 6^{6}}\) (rozumiem, że to wariacja z powtórzeniami)
A=6! (permutacja dlaczego? stawiałam na wariację bez powtórzeń- w zadaniu: 'liczba wypadnie dokładnie jeden raz')

Owszem, jest to wariancja bez powtorzen - tyle, ze jest to 6-cio wyrazowa wariancja bez powtorzen zbioru 6-cio elementowego, czyli permutacja.

doreh pisze: zdarzenie B
omega \(\displaystyle{ 6^{7}}\)
B <= czy ktoś może wyjaśnić skąd się to cudo wzięło ?

Omega, to ta sama wariancja z powtorzeniami, zas zdarzenie B najlepiej odczytywac tak:

Wiemy, ze wszystkie oczka musza sie pojawic, przy czym jedno oczko wystapi 2 razy, bo rzucamy 7 razy. Zeby zadne oczko nie bylo pokrzywdzone, musimy wylosowac to, ktore pojawi sie 2 razy. Mozemy to zrobic na 6 sposobow, stad ta szostka we wzorze. Teraz gdy mamy juz 7 elementow: {1,2,3,4,5,6} i nasze, uczciwie wylosowane, dodatkowe oczko, ustawiamy cyferki w rzadku, czyli kolejnosci w jakiej sie pojawialy. Mozemy to zrobic na tyle sposobow, ile jest permutacji z powtorzeniami tego 7-mio elemntowego zbioru, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{7!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 2!}}\)

czyli ostatecznie moc zdarzenia B wyniesie:
\(\displaystyle{ \frac{7!}{1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 1!\cdot 2!}\cdot 6}\)

Dziękuję
Mam jeszcze jedną małą prośbę: 135919.htm ...
Nie mogę dojść skąd w rachunku prawdopodobieństwa wziął się wzór (n+1)p a nie n*p ...