funkcja odwrotna do cos(ax)

[pacior2]

Dzien Dobry!
Mam problem z zadaniem matematycznym i postanowilem sprobowac zapytac "na forum".
Zadanie wymaga znajomosci podstaw prawdopodobienstwa ze studiow matematycznych
i analizy matematycznej.

Oto zadanie:
Dana jest gestosc pewnego prawdopodobienstwa \(\displaystyle{ f(x)= \frac{pi}{2} *sin(pi*x) , 0 < x < 1}\)
znalezc dystrybuante.

Mysle, ze dystrybuanta z funkcji wykladniczej wyraza sie calka niewlasciwa \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{b}a*e^{x} dx}\)
ale tutaj jest calka wlasciwa: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{pi}{2} *sin(pi*x)dx}\)
Liczac ta calke: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{pi}{2} sin(pi*x) dx = pi/2( \frac{1}{pi}+\frac{1}{pi} ) = 1}\)
Wiec dystrybuanta wynosi 1 a nie powinna.
moje pytanie: Czy nalezy ustalic granice calkowania 0 i 1, bo tak sie zmienia x, czy podstawic dowolna wartosc?
Dalsza czesc zadania, to znalezienie funkcji odwrotnej do dystrybuanty - gdy granica calkowania jest 0 i 1 - to nie ma co liczyc. gdy a i b, to otrzymuje nieskonczenie wiele rozwiazan.
Co robic??
Bardzo prosze o pomoc!

Grzegorz Patynek

[JankoS]

...Wiec dystrybuanta wynosi 1 a nie powinna.

Powinna , w przeciwnym przypadku nie byłaby dystrybuantą. Z warunków zadania wynika,że
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{+ \infty }f(x)dx=0+ \int_{a}^{b} f(x)dx\ \left(a \rightarrow 0^+, \ b \rightarrow 1^- \right)+0= \int_{0}^{1} f(x)dx}\).

Czy nalezy ustalic granice calkowania 0 i 1, bo tak sie zmienia x, czy podstawic dowolna wartosc?

Za górną granicę całkowania można podstawiać dowolną liczbę. Dla \(\displaystyle{ x \le 0 \ F(x)=0}\), dla \(\displaystyle{ x \ge 1 \ F(x)=1}\).

Dalsza czesc zadania, to znalezienie funkcji odwrotnej do dystrybuanty

Ponieważ dystrybuanta nie jest funkcją różnowartościową to nie ma funkcji odwrotnej. Ma ją jej (dystrybuanty) obcięcie do przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\).

[pacior2]

Mam dana funkcje gestosci:
\(\displaystyle{ \frac{pi}{2} sin(pi*x) , x\in [0,1]}\)
Pytanie:
1.Znalezc dystrybuante
2.Znalezc funkcje odwrotna do dystrybuanty.

Wiadomo, ze dystrybuanta to funkcja \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{x}}\)
Jak ja mam ja okroic do \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\)
jak trzeba wyliczyc to zadanie?
Grzegorz Patynek

[Majorkan]

Dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x) = \int_{- \infty }^{x} f(t)dt}\)
Ponieważ w tym zadaniu dla \(\displaystyle{ t \le 0}\) mamy \(\displaystyle{ f(t)=0}\), więc \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{0} f(t)dt = 0}\).
Wobec tego dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) mamy \(\displaystyle{ F(x)=0}\), zaś dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\) liczymy:
\(\displaystyle{ F(x)= \int_{- \infty }^{x} f(t)dt = \int_{- \infty }^{0} f(t)dt + \int_{0}^{x} f(t)dt = \int_{0}^{x} f(t)dt = \int_{0}^{x} \frac{\pi}{2} \sin (\pi t) dt = \frac{\pi}{2} \cdot [\frac{1}{\pi}(- \cos{\pi t})]^{x}_{0}=-\frac{1}{2} \cos(\pi x) + \frac{1}{2}}\)
Oczywiście dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) będzie \(\displaystyle{ F(x)=1}\).