Prawdopodobieństwo - urna

[n0o]

W pierwszej urnie jest 6 kul czarnych i 4 białe , a w drugiej urnie jest 7 kul czarnych i 8 kul białych. Losujemy dwie kule bez zwracania z pierwszej urny i dwie kule ze zwracaniem z drugiej urny. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie trzech kul białych?

[jarosz]

hmm, jak się nie wie jak zrobić takie zadanko, to zawsze można sobie narysować drzewko prawdopodobieństw, później wymnożyć odpowiednie gałęzie i dodać do siebie...

[`vekan]

narysuj sobie drzewko składające się z 4 gałęzi w dół i oczywiście z z każdej gałęzi idzie po 2 czyli Kule czarne i białe. Pierwsze 6 gałezi od góry to są kule z 1 urny gdzie losujesz bez zwracania. Natomiast pozostale losujesz i zwracasz kule. Przy kazdej gałezi piszesz prawdopodobieństwo wylosowania kuli. Potem wybierasz gałęzie(drogi w dół) gdzie są 3 kule białem i 1 czarna i obliczas prawdopodobieństwo.


odpowiedz to (chyba żę sie pomyliłem ) \(\displaystyle{ \frac {416}{2025}}\) jak bys miał problemy to pisz. A wytłumacze

[Tom555]

Mógłby ktoś wytłumaczyć jak to dobrze zrobić? Liczę to i wychodzi mi że prawdopodobieństwo jest równe \(\displaystyle{ \frac{368}{3375}}\) a powinno być dwa razy większe

Rozwiązuję to w ten sposób:

\(\displaystyle{ \[\frac{4}{{10}} \cdot \frac{3}{9} \cdot \frac{7}{{15}} \cdot \frac{8}{{15}} + \frac{4}{{10}} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{8}{{15}} \cdot \frac{8}{{15}} = \frac{{1536}}{{20250}} = \frac{{368}}{{3375}}\]}\)

Doliczyłem się dwóch różnych możliwości aby otrzymać dokładnie trzy kule białe. Albo z pierwszej będą dwie białe a z drugiej jedna czarna, albo z pierwszej jedna biała a z drugiej dwie czarne. To co przed znakiem dodawania dotyczy pierwszej opcji a to co po znaku dodawania dotyczy drugiej opcji. Czego tutaj nie uwzględniłem?

PS. nie chce zakładać nowego tematu (skoro istnieje taki sam) więc musze pobawić sie w archeologa

Pozdrawiam

[Gotta]

Faktycznie, trzy białe kule można otrzymać losując \(\displaystyle{ 2}\) białe z pierwszej urny (zdarzenie \(\displaystyle{ A}\)) i dwie różnokolorowe z drugiej (zdarzenie \(\displaystyle{ B}\)) lub różnokolorowe z urny pierwszej (zdarzenie \(\displaystyle{ C}\)) i dwie białe z drugiej (zdarzenie \(\displaystyle{ D}\)). Wylosowanie trzech kul białych nazwijmy zdarzeniem \(\displaystyle{ E}\)
\(\displaystyle{ P(E)=P(A)P(B)+P(C)P(D)}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{ {4 \choose 2} }{ {10 \choose 2} }=\frac{2}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{15}+\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{15}=\frac{112}{225}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{6\cdot 4}{{10 \choose 2}}=\frac{8}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(D)=\frac{8}{15}\cdot\frac{8}{15}=\frac{64}{225}}\)
\(\displaystyle{ P(E)=\frac{2}{15}\cdot \frac{112}{225}+\frac{8}{15}\cdot \frac{64}{225}=\frac{736}{3375}}\)

[Tom555]

Faktycznie, trzy białe kule można otrzymać losując \(\displaystyle{ 2}\) białe z pierwszej urny (zdarzenie \(\displaystyle{ A}\)) i dwie różnokolorowe z drugiej (zdarzenie \(\displaystyle{ B}\)) lub różnokolorowe z urny pierwszej (zdarzenie \(\displaystyle{ D}\)) i dwie białe z drugiej (zdarzenie \(\displaystyle{ E}\)). Wylosowanie trzech kul białych nazwijmy zdarzeniem \(\displaystyle{ F}\)
\(\displaystyle{ P(F)=P(A)P(B)+P(C)+P(D)}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{ {4 \choose 2} }{ {10 \choose 2} }=\frac{2}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{8}{15}\cdot\frac{7}{15}+\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{15}=\frac{112}{225}}\)
\(\displaystyle{ P(C)=\frac{6\cdot 4}{{10 \choose 2}}=\frac{8}{15}}\)
\(\displaystyle{ P(D)=\frac{8}{15}\cdot\frac{8}{15}=\frac{64}{225}}\)
\(\displaystyle{ P(E)=\frac{2}{15}\cdot \frac{112}{225}+\frac{8}{15}\cdot \frac{64}{225}=\frac{736}{3375}}\)

Wydaje mi się że zamiast \(\displaystyle{ P(F)=P(A)P(B)+P(C)+P(D)}\) powinno być \(\displaystyle{ P(F)=P(A)P(B)+P(C)P(D)}\)

i na samym dole zamiast
\(\displaystyle{ P(E)=\frac{2}{15}\cdot \frac{112}{225}+\frac{8}{15}\cdot \frac{64}{225}=\frac{736}{3375}}\)[/quote]

Powinno być:
\(\displaystyle{ P(F)=\frac{2}{15}\cdot \frac{112}{225}+\frac{8}{15}\cdot \frac{64}{225}=\frac{736}{3375}}\)[/quote]


Dobrze myślę? Ogólnie chyba trochę zamieszałaś z literkami, ale już załapałem o co chodzi.

PS. oczywiście jesli sie myle to krzycz

Pozdrawiam i dzięki za odpowiedź

Edit.:

Czemu nie można pomyśleć np w zdarzeniu A że pierwszą losujemy na 10, drugą na 9 sposobów? Chodzi o to że nie ważna jest kolejność?

Edit 2:
Czemu w zdarzeniu B jest napisane dwa razy to samo? Dobrze myśle że chodzi o to że nie ważna jest kolejność i trzeba rozpatrzyć dwa przypadki?

[Gotta]

Nie mylisz się, trochę mi się literki pomieszały...
Zaraz poprawię.
Co do zdarzenia B, kolejność jest istotna. Jego prawdopodobieństwo najwygodniej można obliczyć za pomocą drzewka.
W zdarzeniu A kolejność nie jest istotna. Zatem korzystamy z kombinacji.

[Tom555]

W zasadzie zdarzenie C też by można na drzewku rozpisać i wyjdzie to samo więc chyba wszystko OK.

Pozdrawiam

[Gotta]

\(\displaystyle{ C}\)?
Chyba \(\displaystyle{ D}\), bo w \(\displaystyle{ C}\) kolejność nie jest istotna

[Tom555]

Chodzi o C, bo założyłem że najpierw wkładam rękę i losuje jedną a potem drugą. Wynik wyszedł \(\displaystyle{ \frac{24}{45} = \frac{8}{15}}\)