losowanie podzbiorów

[Landru]

chodzi mi o zadanie 10. z I etapu OM 04/05. Treść jest następująca:
Sposród wszystkich podzbiorów ustalonego zbioru n-elementowego
X losujemy kolejno ze zwracaniem trzy zbiory A, B, C. Za każdym
razem wylosowanie każdego spośród 2n podzbiorów zbioru X jest
jednakowo prawdopodobne. Wyznaczyć najbardziej prawdopodobną
liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A \cap B \cap C}\).

Wiem, że źle rozumuję bo odpowiedź w rozwiązaniu firmowym jest inna niż moja jednak nie wiem gdzie robię błąd a rozumuję tak:

prawdopodobieństwo, że dany element ze zbioru X znajdzie się w zbiorze A wynosi \(\displaystyle{ 1/2}\), prawdopodobieństwo, że znajdzie się on w zbiorze A i B wynosi \(\displaystyle{ 1/4}\), a prawdopodobieństwo, że znajdzie się on jednocześnie w zbiorach A, B i C wynosi \(\displaystyle{ 1/8}\). Jeżeli każdy element ma prawdopodobieństwo 1/8 że znajdzie się w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap B \cap C}\) to najprawdopodobniej znajdzie się ich tam \(\displaystyle{ n/8}\) w przybliżeniu do 8 czyli \(\displaystyle{ [(1/8)(n+4)]}\). w przypadku gdy n będzie dawało resztę 4 przy dzieleniu przez 8 to są dwie równie prawdopodobne opcje \(\displaystyle{ [n/8]}\) i \(\displaystyle{ [n/8]+1}\).

firmowa odpowiedź to \(\displaystyle{ [(1/8)(n+1)]}\). Jeśli ktoś zauważy błąd w moim toku rozumowania to proszę wytłumaczyć.

[Brzytwa]

Jeżeli każdy element ma prawdopodobieństwo 1/8 że znajdzie się w zbiorze \(\displaystyle{ A \cap B \cap C}\) to najprawdopodobniej znajdzie się ich tam \(\displaystyle{ n/8}\) w przybliżeniu do 8 czyli \(\displaystyle{ [(1/8)(n+4)]}\)

No takie rzeczy z powietrza brać nie wolno, wypadałoby to pokazać.

Dokładnie to prawdopodobieństwo, że to przecięcie będzie \(\displaystyle{ k}\)-elementowe (\(\displaystyle{ k \le n}\)) wynosi \(\displaystyle{ {n \choose k} \cdot \left(\frac{1}{8} \right)^{k} \cdot \left(\frac{7}{8} \right)^{n-k}}\), i ja bym tu próbował wyliczyć maksymalną wartość.

[Landru]

dzięki, już wiem o co chodzi, rzeczywiście z powietrza to wziąłem