Witam serdecznie, nie mogłam sobie poradzić z trzema zadaniami na egzaminie. Proszę o pomoc i małe wyjaśnienie.
1, Pierwsze z nich
W loteri bylo 100 losów z czego 95 pustych. Kupiono 10 losów. Jakie jest prawdopodobieństwo ze wśród nich sa dwa z nagrodami??
2 Drugie zadanie
Dana jest dystrybuanta zmnienej losowej skokowej X
F(X)= \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 \ gdy \ x \ \le \ 0 \\ \frac{1}{3} \ gdy \ x \ \in \ (0,2]\\ \frac{1}{2} \ gdy \ x \ \in \ (2,3]\\ \frac{3}{4} \ gdy \ x \ \in \ (3,5]\\ \ 1 \ gdy \ x \ > \ 5 \\\end{array}}\)
Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej oraz obliczyc,
a \(\displaystyle{ P \ (2 \le X \le 5)}\)
b \(\displaystyle{ EX \ i \ D^{2} X}\)
3 zadanie trzecie.
Dana jest gęstość zmiennej losowej ciągłej X
\(\displaystyle{ f(x)}\)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 \ gdy \ x \ \le \ 0 \\ \frac{1}{2} \ gdy \ x \ \in \ (0,2)\\0 \ gdy \ x \ \ge \ 2\end{array}}\)
Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej oraz obliczyc
a \(\displaystyle{ P \ (1 \le X \le 2)}\)
b \(\displaystyle{ EX \ i \ D^{2} X}\)
Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość
- Kamila_girl
- Użytkownik
- Posty: 4
- Rejestracja: 9 lip 2009, o 12:37
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 1 raz
Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość
Ostatnio zmieniony 9 lip 2009, o 16:07 przez Kamila_girl, łącznie zmieniany 3 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość
Zadanie 1
A - wśród 10 kupionych losów są dwa wygrywające
Możliwości wylosowania dziesięciu losów ze wszystkich jest
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {100 \choose 10}}\)
Możliwości wylosowania 8 pustych i 2 wygrywających losów jest \(\displaystyle{ {95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}{{100 \choose 10}}}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ P(X=0)=F(0+)-F(0)=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X=2)=F(2+)-F(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(X=3)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(X=5)=\frac{1}{4}}\)
a)
\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)= F(5+)-F(2)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\)
To prawdopodobieństwo można też obliczyć korzystając z rozkładu:
\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)=\frac{2}{3}}\)
b)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0 \cdot \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{4}+5 \cdot \frac{1}{4}=\frac{7}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=0^2 \cdot \frac{1}{3}+2^2\cdot \frac{1}{6}+3^2 \cdot \frac{1}{4}+5^2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{55}{6}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{55}{6}- \left( \frac{7}{3}\right)^2}\)
Zadanie 3
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \int_0^x\frac{1}{2} \mbox{d}t\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ \int_0^2\frac{1}{2} \mbox{d}t+\int_2^x 0 \mbox{d}t\qquad\text{dla } x>2\end{cases} = \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \frac{1}{2}x\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ 1\qquad\text{dla } x>2 \end{cases}}\)
a)
\(\displaystyle{ P(1\leq X\leq 2)=F(2)-F(1)=\frac{1}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_0^2\frac{1}{2}x \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_0^2\frac{1}{2}x^2 \mbox{d}x =\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}}\)
A - wśród 10 kupionych losów są dwa wygrywające
Możliwości wylosowania dziesięciu losów ze wszystkich jest
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {100 \choose 10}}\)
Możliwości wylosowania 8 pustych i 2 wygrywających losów jest \(\displaystyle{ {95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}{{100 \choose 10}}}\)
Zadanie 2
\(\displaystyle{ P(X=0)=F(0+)-F(0)=\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ P(X=2)=F(2+)-F(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(X=3)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ P(X=5)=\frac{1}{4}}\)
a)
\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)= F(5+)-F(2)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\)
To prawdopodobieństwo można też obliczyć korzystając z rozkładu:
\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)=\frac{2}{3}}\)
b)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0 \cdot \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{4}+5 \cdot \frac{1}{4}=\frac{7}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=0^2 \cdot \frac{1}{3}+2^2\cdot \frac{1}{6}+3^2 \cdot \frac{1}{4}+5^2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{55}{6}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{55}{6}- \left( \frac{7}{3}\right)^2}\)
Zadanie 3
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \int_0^x\frac{1}{2} \mbox{d}t\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ \int_0^2\frac{1}{2} \mbox{d}t+\int_2^x 0 \mbox{d}t\qquad\text{dla } x>2\end{cases} = \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \frac{1}{2}x\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ 1\qquad\text{dla } x>2 \end{cases}}\)
a)
\(\displaystyle{ P(1\leq X\leq 2)=F(2)-F(1)=\frac{1}{2}}\)
b)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_0^2\frac{1}{2}x \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_0^2\frac{1}{2}x^2 \mbox{d}x =\frac{4}{3}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}}\)