Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Kamila_girl
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 9 lip 2009, o 12:37
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość

Post autor: Kamila_girl »

Witam serdecznie, nie mogłam sobie poradzić z trzema zadaniami na egzaminie. Proszę o pomoc i małe wyjaśnienie.

1, Pierwsze z nich
W loteri bylo 100 losów z czego 95 pustych. Kupiono 10 losów. Jakie jest prawdopodobieństwo ze wśród nich sa dwa z nagrodami??


2 Drugie zadanie
Dana jest dystrybuanta zmnienej losowej skokowej X

F(X)= \(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 \ gdy \ x \ \le \ 0 \\ \frac{1}{3} \ gdy \ x \ \in \ (0,2]\\ \frac{1}{2} \ gdy \ x \ \in \ (2,3]\\ \frac{3}{4} \ gdy \ x \ \in \ (3,5]\\ \ 1 \ gdy \ x \ > \ 5 \\\end{array}}\)

Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej oraz obliczyc,
a \(\displaystyle{ P \ (2 \le X \le 5)}\)
b \(\displaystyle{ EX \ i \ D^{2} X}\)


3 zadanie trzecie.

Dana jest gęstość zmiennej losowej ciągłej X
\(\displaystyle{ f(x)}\)\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0 \ gdy \ x \ \le \ 0 \\ \frac{1}{2} \ gdy \ x \ \in \ (0,2)\\0 \ gdy \ x \ \ge \ 2\end{array}}\)

Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej oraz obliczyc
a \(\displaystyle{ P \ (1 \le X \le 2)}\)
b \(\displaystyle{ EX \ i \ D^{2} X}\)
Ostatnio zmieniony 9 lip 2009, o 16:07 przez Kamila_girl, łącznie zmieniany 3 razy.
Gotta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 729
Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 220 razy

Zadanioa: loteria, dystrybuanta, gęstość

Post autor: Gotta »

Zadanie 1

A - wśród 10 kupionych losów są dwa wygrywające

Możliwości wylosowania dziesięciu losów ze wszystkich jest
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}= {100 \choose 10}}\)

Możliwości wylosowania 8 pustych i 2 wygrywających losów jest \(\displaystyle{ {95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}\)


\(\displaystyle{ P(A)=\frac{{95 \choose 8} \cdot {5 \choose 2}}{{100 \choose 10}}}\)



Zadanie 2


\(\displaystyle{ P(X=0)=F(0+)-F(0)=\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{ P(X=2)=F(2+)-F(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}}\)

\(\displaystyle{ P(X=3)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ P(X=5)=\frac{1}{4}}\)

a)

\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)= F(5+)-F(2)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}}\)

To prawdopodobieństwo można też obliczyć korzystając z rozkładu:

\(\displaystyle{ P(2\leq X\leq 5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=5)=\frac{2}{3}}\)

b)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0 \cdot \frac{1}{3}+2 \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{1}{4}+5 \cdot \frac{1}{4}=\frac{7}{3}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=0^2 \cdot \frac{1}{3}+2^2\cdot \frac{1}{6}+3^2 \cdot \frac{1}{4}+5^2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{55}{6}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{55}{6}- \left( \frac{7}{3}\right)^2}\)


Zadanie 3

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \int_0^x\frac{1}{2} \mbox{d}t\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ \int_0^2\frac{1}{2} \mbox{d}t+\int_2^x 0 \mbox{d}t\qquad\text{dla } x>2\end{cases} = \begin{cases} 0\qquad\text{dla } x\leq 0\\ \frac{1}{2}x\qquad\text{dla } 0<x\leq 2 \\ 1\qquad\text{dla } x>2 \end{cases}}\)

a)

\(\displaystyle{ P(1\leq X\leq 2)=F(2)-F(1)=\frac{1}{2}}\)

b)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_0^2\frac{1}{2}x \mbox{d}x =1}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_0^2\frac{1}{2}x^2 \mbox{d}x =\frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}}\)
ODPOWIEDZ