Rzut monetą - proszę o wyjaśnienie

[Pablito1988]

Witam serdecznie. Jestem dopiero początkujący jeśli chodzi o rachunek prawdopodobieństwa. Jeszcze nie mam z tego zajęć, ale mam ambitny plan nauczenia się tego sam. Znalazłem sobie 4 zadania na podstawie których chciałbym sobie przeanalizować zagadnienia. Prosiłbym was o rozwiązanie ich krok po kroku z wytłumaczeniem dlaczego tak itd.

Oto zadanka:
1. Rzucamy monetą 3 razy przy czym prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 0,48:
-oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia conajmniej 1 orła
-oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów

2. Rzut kostką jest opisany przez następującą funkcję prawdopodobieństwa
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x "1" "2" "3" "4" "5" "6"
p "0,1" "0,22" "0,07" "0,04" "0,24" "0,33"

-oblicz E[X]
-oblicz Var[X]

3. Na szczyt góry prowadzi 7 dróg. Każda z nich nadaje się również do zejścia. Zakładamy ponadto, że wszystkie trasy są równorzędne. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania się dwóch znajomych z których jeden wchodzi na szczyt a drugi jest w drodze powrotnej.

4. Rzucamy 30 razy kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest liczbą pomiędzy 100 a 110?

Dziękuję wam z góry za pomoc i dodam że w zadaniu 2 i 3 mniej więcej wiem o co chodzi, bardziej zależy mi zadaniu 1 i 4 bo z nimi mam problemy (zdaję sobie sprawę, że zadanie 1-sze jest banalne, ale jakoś nie potrafię tego strawić)

Pozdrawiam

[kadiii]

Poczytaj o takich zagadnieniach jak schemat Bernoulliego oraz o dystrybuancie - te ostatnie pojęcie jest bardzo użyteczne w rp a może sprawiać na starcie pewne trudności. To pojęcie wprost poprowadzi cię do pojęcia funkcji gęstości prawdopodobieństwa skąd o krok od rozkładów prawdopodobieństwa. Te ostatnie wprawdzie nie są potrzebne do powyższych zadań lecz na pewno spotkasz się z nimi na rachunku. Myślę, że jak na dobry start to jest to wystarczające.

[Pablito1988]

Dzięki za cenne wskazówki. Już trochę poczytałem. No nie jest to łatwe ale jeszcze poszlifuję to.

Ponadto próbowałem zrobić te zadania i cośtam mi powychodziło, ale potrzebuję, żebyście mi powiedzieli czy dobrze i ewentualnie skorygowali błędy. A więc:

Zad 1:
Prawdopodobieństwo orła - P(O)=0,48
Prawdopodobieństwo reszki - P(R)=0,52

a)Zastosowałem odwrotność prawdopodobieństwa, bo łatwiej policzyć prawdopodobieństwo dokładnie jednej reszki.
\(\displaystyle{ 1- {3 \choose 1} ( 0,52^{1} * 0,48^{2} )=0,640576}\)

b)\(\displaystyle{ {3 \choose 2} ( 0,48^{2} * 0,52^{1} )=0,359424}\)

Zad 2:
\(\displaystyle{ E[X]=Exipi=(0,1*1)+(0,22*2)+(0,07*3)+(0,04*4)+(0,24*5)+(0,33*6)=4,09}\)

\(\displaystyle{ Var[X]=E[ x^{2} ]-(E[X])^{2} =20,13-16,7281=3,4019}\)

Zad 3:
Każdy student może wybrać drogę na siedem sposobów, a że studentów jest dwóch to mamy:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} = 7^{2} =49}\)
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} =(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6);(7,7)}\)-czyli 7 możliwych rozwiązań \(\displaystyle{ =7}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{7}{49} = \frac{1}{7}}\)

Zad 4:
Dane:
30 rzutów
\(\displaystyle{ E[X]=3,5}\)
\(\displaystyle{ Var[X]=E[ x^{2} ]-(E[X])^{2} =15,17-12,25=2,92}\)

\(\displaystyle{ P(100< \Sigma <110) \rightarrow P( \frac{100}{30} < \Sigma < \frac{110}{30} ) \rightarrow P( \frac{100}{30} -3,5< \Sigma < \frac{110}{30} -3,5) \rightarrow p( \frac{ \frac{100}{30} -3,5}{ \frac{ \sqrt{Var[X]} }{ \sqrt{30} } } < \Sigma < \frac{ \frac{110}{30} -3,5}{ \frac{ \sqrt{Var[X]} }{ \sqrt{30} } } )= \Phi (-0,5342)< \Sigma < \Phi (0,5342)}\)

Teraz z tablic odczytuję wartości i odejmuję od prawej strony, lewą:
\(\displaystyle{ \Phi 0,5342 - \Phi 0,5342=0,7019 -(1-0,7019)=0,4038}\)

To by było tyle. Mam nadzieję, że wszystko jest dobrze, ale proszę poprawcie mnie jeśli jest coś źle. Muszę koniecznie zrozumieć rachunek prawdopodobieństwa.

[Monika.kln]

zaczynając od końca, jak uczą w szkołach pojęcia prawdopodobieństwa wyrzucenia orła w dwóch rzutach to najłatwiej zrozumieć to rozpisaniem z oznaczeniem R-reszka O-orzeł
{omega}= {(O,O),(R,R),(O,R),(R,O)} czyli jest równe 4
a A=prawdopodobieństwo zdarzeń polegających na wyrzuceniu przynajmniej 1 Orła wynosi tym zdarzeniom gdzie on występuje czyli 3 czyli A=3

Prawdopodobieństwo zdarzenie P(A)=\(\displaystyle{ 3/4}\)



Wydaje mi sie że tak łatwiej to zrozumieć a to zadanie które masz jest poprostu od tyłu

a podane prawdopodobieństwo łatwiej zrozumieć na drzewkach

mam nadzieję że pomogłam

[Pablito1988]

Wszystko fajnie, ale w treści zadania są 3 rzutu monetą i nie jest to moneta symetryczna, ponieważ P(O)=0,48 , co jest jednoznaczne, że P(R)=0,52.

To co podałaś ma rację bytu, ale przy monecie symetrycznej i dwóch rzutach monetą. Przynajmniej tak mi się wydaje.

[Monika.kln]

Pablito1988, jeśli chodzi o monety to wszędzie masz tak samo , nie widziałam zdań z symetryczną ani nie symetrzyczną
w rzucie 3 monte muszisz też rozpisać
{omega}-sory nie wiem jak inaczej to zapisać tu masz={(r,r,o),(r,o,r),(o,r,r)
(r,o,o),(o,r,o),(o,o,r)
(r,r,r),(o,o,o)}=8

[Inkwizytor]

jeśli chodzi o monety to wszędzie masz tak samo , nie widziałam zdań z symetryczną ani nie symetrzyczną

oj Monika Monika!
Jak ty nic nie rozumiesz. To że NIE MIAŁAŚ w szkole to wiń tylko nauczyciela.
Pablito ma rację

[Monika.kln]

Inkwizytor, jak Ty się lubisz do wszystkiego czepiać, mówię jak jest, jestem po profilu matma-infa
więc jeśli to miałoby jakiś związek to nauczycielka powinna mowić w klasie z rozszerzoną matmą

[Inkwizytor]

Przyczepiam się gdy wpis ewidentnie szkodzi.
Powtarzam: pretensje do nauczycieli. Obecne profile Mat-inf jakoś nie robią na mnie wrażenia z uwagi na wszelkie reformy dydaktyczne i obcinanie programu nauczania. Po drugie ja bym się na Twoim miejscu tym jednak nie chwalił...

Moneta może być symetryczna ale NIE MUSI!!!
Ba! Można nawet taką zrobić z bimetalu o przesuniętym środku ciężkości

Poza tym mój nick zobowiązuje do bycia okrutnym jeśli chodzi o niedoróbki matematyczne

[Pablito1988]

Oki to wszystko sobie wytłumaczyliśmy
A teraz tylko potrzebuję waszej pomocy... czy te zadania w ogóle zrobiłem dobrze? Bardzo mi na tym zależy.

[Inkwizytor]

1. Rzucamy monetą 3 razy przy czym prawdopodobieństwo wyrzucenia orła wynosi 0,48:
-oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia conajmniej 1 orła
-oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 orłów

Zad 1:
Prawdopodobieństwo orła - P(O)=0,48
Prawdopodobieństwo reszki - P(R)=0,52

a)Zastosowałem odwrotność prawdopodobieństwa, bo łatwiej policzyć prawdopodobieństwo dokładnie jednej reszki.
\(\displaystyle{ 1- {3 \choose 1} ( 0,52^{1} * 0,48^{2} )=0,640576}\)

b)\(\displaystyle{ {3 \choose 2} ( 0,48^{2} * 0,52^{1} )=0,359424}\)

1. Nie odwrotność a dopełnienie lub zdarzenie przeciwne
2. "Zastosowałem odwrotność prawdopodobieństwa, bo łatwiej policzyć prawdopodobieństwo dokładnie jednej reszki." Błąd
Masz w zadaniu oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia conajmniej 1 orła - dopełnieniem nie jest 1 reszka. Dopełnieniem jest ANI JEDNEGO ORŁA (czyli same reszki)
\(\displaystyle{ P(A') = 0,52^{3}}\)
\(\displaystyle{ P(A) = 1 - 0,52^{3}}\)
Podpunkt b. OK

Zad 2 i 3 dobrze

[Pablito1988]

O!! Właśnie tego nie byłem pewien w 1-szym zadaniu.
A co z zadaniem 4-tym? bo z nim mam największe obawy...