Witam,
Ostatnio z pasją czytam (dla przyjemności) chyba najlepszą książkę z prawdopodobieństwa, czyli Fellera. Zatrzymałem się na zagadnieniu błądzenia losowego, a konkretnie zagadnieniu prawdopodobieństwa, że cząstka do momentu \(\displaystyle{ 2n}\) powróci do zera dokładnie \(\displaystyle{ r}\) razy. Można takie błądzenie utożsamiać z rzucaniem monetą (orzeł, ruch w górę - reszka ruch w dół). Jeszcze inaczej mówiąc obserwujemy sumę zmiennych losowych \(\displaystyle{ S_n=\sum_{i=0}^{n} {\epsilon}_i}\), gdzie \(\displaystyle{ {\epsilon}_i=1}\) lub \(\displaystyle{ {\epsilon}_i=-1}\). Jest w książce pokazane (i to rozumiem), że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ z_{2n}^{(r)}}\), że do czasu \(\displaystyle{ 2n}\) włącznie cząstka powraca do zera dokładnie \(\displaystyle{ r}\) razy da się przybliżyć jako \(\displaystyle{ z_{2n}^{(r)} \approx {(\pi n)}^{-\frac{1}{2}}e^{-\frac{r^2}{4n}}}\). To jest jasne. No ale później Autor pisze tak: (str. 84, rozdział III, paragraf 6): "Prawdopodobieństwo otrzymania mniej niż \(\displaystyle{ k}\) powrotów, mianowicie \(\displaystyle{ z_{2n}^{(0)}+ z_{2n}^{(1)}+\ldots +z_{2n}^{(k-1)}}\) jest więc przybliżone przez Riemanowską sumę dla całki z \(\displaystyle{ \pi^{-1} e^{-\frac{x^2}{4}}}\) rozciągniętej na odcinek \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{k}{n}}\) ...". No i tutaj rachunkowo troszkę nie daję rady, proszę o pomoc. Trochę dużo tutaj literek (to mnie męczy), ale myślę, że napisałem zrozumiale. Serdecznie pozdrawiam wszystkich czytelników Fellera i Billingsleya