poisson,P(XY=3)

[wredna8888]

Niezależne zmienne losowe X Y mają rozkład Poissona X - Poisson(1); Y - Poisson(2):
Wylicz \(\displaystyle{ P(X\cdot Y = 3)}\).
Proszę o pomoc.

[lukasz1804]

Ponieważ \(\displaystyle{ X, Y}\) przyjmują wartości całkowite nieujemne oraz \(\displaystyle{ 3=1\cdot 3=3\cdot 1}\) są jedynymi rozkładami liczby \(\displaystyle{ 3}\) na iloczyn liczb całkowitych nieujemnych, to mamy \(\displaystyle{ P(XY=3)=P((X=1\cap Y=3)\cup(X=3\cap Y=1))}\). Co więcej, zdarzenia \(\displaystyle{ X=1\cap Y=3}\) oraz \(\displaystyle{ X=3\cap Y=1}\) się wykluczają, więc \(\displaystyle{ P(XY=3)=P(X=1\cap Y=3)+P(X=3\cap Y=1)}\). Stąd w myśl niezależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X, Y}\) dostajemy \(\displaystyle{ P(XY=3)=P(X=1)P(Y=3)+P(X=3)P(Y=1)=e^{-1}\frac{1^1}{1!}e^{-2}\frac{2^3}{3!}+e^{-1}\frac{1^3}{3!}e^{-2}\frac{2^1}{1!}=e^{-3}\frac{8}{6}+e^{-3}\frac{2}{6}=\frac{5}{3}e^{-3}}\).