urna z kulami :)

Łukash · Post autor: **Łukash** » 23 mar 2006, o 20:39

W urnie są 4 kule czarne i 6 kul białych. Ile, co najmniej, należałoby dołożyć do tej urny kul czarnych, aby przy losowaniu z niej dwóch kul bez zwracania:
a) prawdopodobienstwo wylosowania dwóch kul czarnych było większe od prawdopodobieństwa wylosowania dwóch kul białych,
b) prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej i czarnej było równe prawdopodobieństwu wylosowania dwóch kul czarnych?

guzik15 · Post autor: **guzik15** » 23 mar 2006, o 23:10

w a) należy wrzucić kule czarne, ponieważ mając 7 kul czarnych na pewno jest większe prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czarnych niż białych

sir_matin · Post autor: **sir_matin** » 24 mar 2006, o 12:27

To prawda w podpunkcie a) musisz dolozyc 3 kule czarne, oczywiscie jezeli chcesz sie przekonac liczbowo mozesz uzyc nawet drzewa stochastycznego i z niego odczytac iz
\(\displaystyle{ P(2cz)=\frac{4+n}{10+n}\ \frac{3+n}{9+n}\\P(2b)=\frac{6}{10+n}\ \frac{5}{9+n}}\)
n oczywiscie to liczba dolozonych kul czarnych, nastepnie rozwiazac nierownosc P(2cz)>P(2b) z ktorej wyliczysz iz pierwsza liczba naturalna spelniajaca ja bedzie liczba 3.

Punkt b) liczymy podobnie
\(\displaystyle{ P(2cz)=\frac{4+n}{10+n}\ \frac{3+n}{9+n}\\P(cz-b)=\frac{6}{10+n}\ \frac{4+n}{9+n}+\frac{4+n}{10+n}\ \frac{6}{9+n}}\)
ukladajac rownanie P(2cz)=P(cz-b) i upraszczajac otrzymamy prosta funkcje kwadratowa
\(\displaystyle{ n^{2}-5n-36=0}\) ktorej rozwiazaniem jest n=9.