Mam problem z pierwszą częścią podpunktu a) i całym c), to są moje rozwiązania do tego zadania, wydaje mi się, ze są dobrze, proszę by ktoś je sprawdził, z góry dziękuję
oto treść zadania:
Niech \(\displaystyle{ (\xi ,\eta )}\) będzie wektorem losowym typu ciągłego o gęstości (?)
\(\displaystyle{ f_{\xi ,\eta}(x,y)= \begin{cases} e^{y-x} \ , x \ge 0 \wedge y \le 0 \\ 0 , x<0 \vee y>0 \end{cases}}\)
a) (?) (czy jest gęstość)
b) sprawdzić czy zmienne losowe \(\displaystyle{ \xi , \eta}\) są niezależne
c) znaleźć gęstość zmiennej losowej \(\displaystyle{ \xi + \eta}\)
Moje rozwiązanie:
a)
sprawdzamy warunki na gęstość:
nie wiem jak sprawdzić, że jest borelowska i nieujemna (zakładam, że jest )
teraz całka:
\(\displaystyle{ \iint_{R}f(x,y) \mbox{d}x \mbox{d}y= \int_{0}^{ \infty} \left( \int_{- \infty }^{0} \mbox{d}y \right) \mbox{d}x = \begin{vmatrix} t=y-x \\ \mbox{d}t = \mbox{d}y \\ y \ - \infty \ 0 \\ t \ - \infty \ -x \end{vmatrix}= \int_{0}^{ \infty } \left( \int_{- \infty }^{-x} e^t \mbox{d}t \right) \mbox{d}x = \int_{0}^{ \infty } \left[ e^t \right] _{0}^{ \infty } \mbox{d}x = \int_{0}^{ \infty } e^{-x} \mbox{d}x =\begin{vmatrix} s=-x \\ \mbox{d}s=- \mbox{d}x \\ x \ 0 \ \infty \\ s \ 0 \ \infty\end{vmatrix}= \int_{- \infty }^{0} e^s \mbox{d}s= \left[ e^s \right]_{- \infty }^{0}=e^0=1}\)
b)
\(\displaystyle{ f_{ \xi }= \int_{R}f(x,y) \mbox{d}y= \int_{- infty }^{0}e^{y-x} \mbox{d}y= \begin{vmatrix} y-x=t \\ \mbox{d}y =dt \\ x \ \infty \ 0 \\ t \ - \infty \ -x \end{vmatrix}= \int_{- \infty}^{-x} e^t \mbox{d}t= \left[ e^t \right]_{- \infty}^{-x}=e^{-x}}\)
\(\displaystyle{ f_{ \eta }= \int_{R}f(x,y) \mbox{d}x= \int_{- infty }^{0}e^{y-x} \mbox{d}x=\begin{vmatrix} y-x=t \\ - \mbox{d}x =dt \\ x \ 0 \ \infty \\ t \ y \ - \infty \end{vmatrix}=- \int_{y}^{- \infty}e^t \mbox{d}t= \int_{-\infty}^{y}e^t \mbox{d}t= \left[ e^t \right]_{-\infty}^{y}}\)
c) nie wiem-- 23 czerwca 2009, 15:26 --Odp do b)
z warunku niezależności: \(\displaystyle{ f_{ \xi } \cdot f_{ \eta }=e^{-x} \cdot e^y = f_{\xi , \eta}}\)