SPWL Bernulli

[111sadysta]

Udowodnić nierówność Czybyszewa i bezpośrednio za jej pomocą Słabe Prawo Wielkich Liczb Bernulli'ego.

[Gotta]

Nierówność Czebyszewa

Jeżeli \(\displaystyle{ X}\) jest zmienną losową taką, że \(\displaystyle{ \mathbb{E}|X|^2<\infty}\) to dla dowolnego \(\displaystyle{ \varepsilon >0}\)zachodzi nierówność


\(\displaystyle{ P[|X|\geq \varepsilon]\le\frac{\mathbb{E}X^2}{\varepsilon ^2}}\)

Dowód
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\mathbb{E}X^2\mathbb{I}_{\{|X|\geq \varepsilon\}+\{|X|<\varepsilon\}}=\mathbb{E}X^2\mathbb{I}_{\{|X|\geq \varepsilon\}}+\mathbb{E}X^2\mathbb{I}_{\{|X|<\varepsilon\}}\geq \mathbb{E}X^2\mathbb{I}_{\{|X|\geq \varepsilon\}}\geq \mathbb{E}\varepsilon ^2\mathbb{I}_{\{|X|\geq \varepsilon\}}=\varepsilon ^2\mathbb{E}\mathbb{I}_{\{|X|\geq \varepsilon\}}=\varepsilon ^2P(|X|\geq \varepsilon)}\)
Stąd

\(\displaystyle{ \varepsilon ^2P(|X|\geq \varepsilon)\leq \mathbb{E}X^2}\)

i ostatecznie

\(\displaystyle{ P[|X|\geq \varepsilon]\le\frac{\mathbb{E}X^2}{\varepsilon ^2}}\)



Słabe Prawo Wielkich Liczb Bernoulliego

W schemacie doświadczeń Bernoulliego z \(\displaystyle{ p>0}\)
\(\displaystyle{ P\left (\left|\frac{S_n}{n}-p\right |\geq \varepsilon \right)\to 0}\), gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\)

Dowód
Na mocy nierówności Czebyszewa mamy dla \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\)

\(\displaystyle{ P\left (\left|\frac{S_n}{n}-p\right |\geq \varepsilon \right)=P\left (|S_n-np |\geq n \varepsilon \right)=P\left (|S_n-\mathbb{E}S_n |\geq n \varepsilon \right)\leq \frac{\sigma^2S_n}{n^2\varepsilon^2}=\frac{npq}{n^2\varepsilon^2}=\frac{pq}{n\varepsilon^2}\to 0}\) gdy \(\displaystyle{ n\to\infty}\)