n urn, n kul

[miss.waikiki]

1)
Mamy n rozróżnialnych kul i umieszczamy je w n urnach.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że
(a) dokładnie jedna urna będzie pusta
(b) dokładnie dwie urny będą puste ?

2)
A gdyby kule byłyby nierozróżnialne?

[wiślak]

1.
a) \(\displaystyle{ n \cdot (n-1) \cdot {n \choose 2} \cdot (n-2)!}\) (będzie tylko jedna pusta urna a w jednej będą dwie kule, wybieramy najpierw tą pustą, potem tą w której będą dwie, wrzucamy kulki do tej co będą dwie, w reszcie będzie po jednej więc zwykła permutacja)
b) tu mogą być albo w jednej urnie trzy kule, albo w dwóch po dwie więc:
\(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot (n-2) \cdot {n \choose 3} \cdot (n-3)! + {n \choose 2} \cdot {n \choose 2} \cdot {n \choose 2} \cdot {n-2 \choose 2} \cdot (n-4)!}\)

2. tu trochę prościej
a)
\(\displaystyle{ n \cdot (n-1)! \cdot (n-1)}\)
b)
\(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot (n-2)! \cdot (n-2)^2}\)