Zmienna losowa

[BTTOS]

Znaleźć wartość oczekiwaną, wariancję, i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=(Y+1) ^{2}}\), jeśli zmienna losowa Y jest zmienną dyskretną przyjmującą wartości -2, -1, 0, 2 z prawdopodobieństwami odpowiednio 0,1; 0,2;; 0,3; 0,4.

[Gotta]

\(\displaystyle{ Z=(Y+1)^2}\)

\(\displaystyle{ P(Z=1)=P((Y+1)^2=1)=P((Y+1)^2-1=0)=P(Y(Y+2)=0)=P(Y=0)+P(Y=-2)=0,3+0,1=0,4}\)

\(\displaystyle{ P(Z=0)=P((Y+1)^2=0)=P(Y+1=0)=P(y=-1)=0,2}\)

\(\displaystyle{ P(Z=9)=P((Y+1)^2=9)=P((Y+1)^2-9=0)=P(Y^2+2Y-8=0)=P(Y=2)=0,4}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$z_i$ &$ 0$ &$ 1$ &$ 9$ \\
\hline
$P(Z=z_i)$ & $0,2 $& $0,4$ &$0,4$ \\
\hline
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ F(z)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }z \le 0\\ 0,2\qquad\text{dla }0<z \le 1\\0,6\qquad\text{dla }1<z \le 9\\1\qquad\text{dla }z>0\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z=0 \cdot 0,2+1 \cdot 0,4+9 \cdot 0,4=4}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z^2=0 \cdot 0,2+1 \cdot 0,4+81 \cdot 0,4=32,8}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2Z=\mathbb{E}Z^2-\mathbb{E}^2Z=32,8-16=16,8}\)