Loteria pieniężna
-
BTTOS
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 9 paź 2008, o 15:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 25 razy
Loteria pieniężna
Gracze uczestniczą w loterii pieniężnej w której wygrana zależy od wyniku rzutu czworościenną kostką i wynosi: 2 zł, gdy wypadnie 1 (na ścianie zakrytej); 3 zł, gdy wypadnie 2 i 5 zł w pozostałych przypadkach. Obliczyć dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y oznaczającą wygraną w loterii (przy jednokrotnym rzucie kostką). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w 10 kolejnych rzutach (niezależnych) 4 razy wygrana wyniesie nieparzystą liczbę zł.
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Loteria pieniężna
Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić za pomocą tabeli:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 2 & 3 & 5 \\
\hline
$ P(X=x_i) $& $\frac{1}{4}$ &$ \frac{1}{4} $& $\frac{1}{2} $\\
\hline
\end{tabular}}\)
Dystrybuanta:
dla \(\displaystyle{ x \le 2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=2}\)
dla \(\displaystyle{ 2<x \le 3}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ 3<x \le 5}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ x>5}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x \le 2\\ \frac{1}{4}\qquad\text{dla }2<x \le 3\\ \frac{1}{2}\qquad\text{dla }3<x \le 5 \\1\qquad\text{dla }x >5\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{1}{2}=3,75}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=4\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{4}+25\cdot\frac{1}{2}=15,75}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X=15,75-(3,75)^2}\)
Korzystamy ze schematu Bernoulliego:
\(\displaystyle{ n=10}\) - liczba prób
\(\displaystyle{ k=4}\) - liczba sukcesów
\(\displaystyle{ p=\frac{3}{4}}\) - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ P= {10 \choose 4}\cdot \left( \frac{3}{4}\right) ^4\cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^6}\)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i & 2 & 3 & 5 \\
\hline
$ P(X=x_i) $& $\frac{1}{4}$ &$ \frac{1}{4} $& $\frac{1}{2} $\\
\hline
\end{tabular}}\)
Dystrybuanta:
dla \(\displaystyle{ x \le 2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=2}\)
dla \(\displaystyle{ 2<x \le 3}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ 3<x \le 5}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}}\)
dla \(\displaystyle{ x>5}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x \le 2\\ \frac{1}{4}\qquad\text{dla }2<x \le 3\\ \frac{1}{2}\qquad\text{dla }3<x \le 5 \\1\qquad\text{dla }x >5\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=2\cdot\frac{1}{4}+3\cdot\frac{1}{4}+5\cdot\frac{1}{2}=3,75}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=4\cdot\frac{1}{4}+9\cdot\frac{1}{4}+25\cdot\frac{1}{2}=15,75}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X=15,75-(3,75)^2}\)
Korzystamy ze schematu Bernoulliego:
\(\displaystyle{ n=10}\) - liczba prób
\(\displaystyle{ k=4}\) - liczba sukcesów
\(\displaystyle{ p=\frac{3}{4}}\) - prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie
\(\displaystyle{ P= {10 \choose 4}\cdot \left( \frac{3}{4}\right) ^4\cdot \left( \frac{1}{4} \right) ^6}\)