Słabe prawo wielkich Liczb

[Nati071188]

Zadanie 1.

Sprawdź, czy dla poniższego ciągu \(\displaystyle{ (X_{1}, X_{2}, ... , X_{n})}\) niezależnych zmiennych losowych zachodzi słabe prawo wielkich liczb:

\(\displaystyle{ X _{n}}\) mają jednakowy rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \lambda =1}\).

Dzieki

[kuch2r]

Możemy się powołać na twierdzenie Czebyszewa, które pozwolę sobie przytoczyć

Niech \(\displaystyle{ \xi_n, n=1,2,\ldots}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że \(\displaystyle{ D^2\xi_n\leq C, n=1,2,3,\ldots}\) Wtedy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}\xi_k-\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}E\xi_k}\)
dąży do zera wg. prawdopodobieństwa przy \(\displaystyle{ n\to\infty}\)

Zatem dla naszego przypadku, wystarczy przyjąc \(\displaystyle{ C=1}\), bo
\(\displaystyle{ D^2\xi_n=1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,\ldots}\)