Prawdopodobieństwo problem...

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 18 cze 2009, o 16:09

Witam. Na forum jestem nowy. Mam problem z następującymi zadaniami. Nie mam zielonego pojęcia jak je rozwiązać. Wiem, że trzeba do tego użyć schematu Bernouliego. Oto zadania:
1. U urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Losujemy z urny jedną kulę notujemy jej kolor i zwracamy do urny. Postępujemy tak 3 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że 2 razy wylosujemy kulę białą.
2. Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, zdarzenia, że po oddaniu 5 strzałów strzelec ten trafi w cel co najmniej 4 razy.
3. Rzucamy 5 razy parą symetrycznych monet. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że 3 razy wypadnie kombinacja orzeł-reszka.
4.Rzucamy dwoma symetrycznymi kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najwyżej raz uzyskamy liczbę 7.
5.Dwie osoby X i Y rzucają po 5 razy symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba X uzyska tyle orłów co osoba Y reszek
6.Gracz wykonuje rzuty monetą, tak długo aż otrzyma orła. Obliczyć prawdopodobieństwo, że liczba rzutów nie przekroczy czterech.
Bardzo proszę o rozwiązanie zadań,a przynajmniej jakiegoś z nich. Dziękuję z góry.

lorakesz · Post autor: **lorakesz** » 18 cze 2009, o 16:28

Prawdopodobieństwo k sukcesów w n próbach, gdzie prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ P(A)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}}\)

Zadanie 1.
\(\displaystyle{ P(A)={ 3 \choose 2} (\frac{3}{5})^2(\frac{2}{5})=3\cdot \frac{18}{125}=\frac{54}{125}}\)

Post autor: **loitzl9006** » 18 cze 2009, o 16:44

wiesz co, te wszystkie zadania można rozwiązać dosyć prostym sposobem (rysując drzewka):

np. w zad1

I losowanie: rysujesz z jednego punktu 2 rozgałęzienia:
masz 2 możliwości: wylosujesz kulę białą (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\)) , lub czarną (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\)). Dlatego tak, że wszystkich kul jest 5, białych 3 a czarnych 2.

II losowanie:
masz 2 końce rozgałęzień. Z każdego z 2 końców rysujesz 2 rozgałęzienia (oznacza to możliwość wylosowania kuli czarnej lub białej, dlatego 2 rozgałęzienia). Prawdopodobieństwa w II losowaniu są takie same jak w I losowaniu, bo po wylosowaniu kuli zwracamy ją do urny.

po II losowaniu na "drzewku" mamy 4 końce. W III losowaniu znowu: z każdego końca po 2 rozgałęzienia...

wyjdzie takie drzewko:

jak w drzewku wypiszesz sobie wszystkie prawdopodobieństwa, to zaznacz w nim wszystkie zdarzenia, o które chodzi w zadaniu, np. jak masz zadanie że strzelec strzela 5 razy i trafia ze skutecznością 0,8 = \(\displaystyle{ \frac{4}{5}}\) obliczyć prawdopodobieństwo że trafi 4 razy, czyli musi trafić 4 razy i chybić 1 raz.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 18 cze 2009, o 16:51

To te zadae już rozumiem. Dziękuję bardzo. Muszę się nauczyć drzewka rysować i już nie będzie problemu. A inne zadania jak zrobić?

Post autor: **loitzl9006** » 18 cze 2009, o 17:37

wszystkie można na drzewka zrobić:

np. w zad3
możliwe są 3 kombinacje podczas rzutu: I.wypadnie orzeł na obu kostkach (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) , II.wypadnie na jednej orzeł a na drugiej reszka (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}}\), III. wypadnie reszka na obu kostkach (prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) to prawdopodobieństwo II jest większe bo wciągamy to że na 1.kostce reszka a na 2.orzeł , a także na 1.kostce orzeł a na 2.reszka.

no i tu narysować trzeba takie większe drzewko (3 rozgałęzienia na 1 rzut kostkami) wyjdzie b. duże... bo mamy aż 5 rzutów...

musi być 3 razy kombinacja orzeł-reszka a 2 razy obojętnie co oprócz orzeł-reszka.

coś trzeba pokombinować: wszystkich kombinacji podczas 5 rzutów jest \(\displaystyle{ 5! = 120}\)

a 3 razy kombinacja orzeł-reszka a 2 razy obojętnie co oprócz orzeł-reszka - takich kombinacji jest \(\displaystyle{ 3! * 4 * 2! = 48}\)

ta czwórka dlatego, że wśród tych "2 razy obojętnie co oprócz orzeł-reszka" mogą być 4 możliwości: (oo , oo) , (oo , rr) , (rr, oo) , (rr , rr).

No czyli prawdopodobieństwo = \(\displaystyle{ \frac{48}{120} = \frac{2}{5}}\) tak się wydaje , choć mogłem się pomylić. Ciężko wytłumaczyć prawdopoodobieństwo, trzeba sobie dokładnie wyobrazić daną sytuację, choć i to nie zawsze pomaga.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 18 cze 2009, o 18:05

Rozumiem. A w zadaniu drugim wynik wyszedł mi 0,4096, dobrze zrobiłem?? Bo to ma być conajmniej 4 trafione, czyli 4 lub 5. A ten wynik chyba tyczy sie dokładnie czterech strzałów, mógłbyś rzucić okiem na to zadanie??

Post autor: **loitzl9006** » 18 cze 2009, o 18:23

dobrze wyliczyłeś, ale to, tak jak napisałeś, to prawdopodobieństwo obliczone przez ciebie czyli 0,4096 tyczy się takiej sytuacji w której strzelec trafia 4 strzały a nie trafia 1.

A w zadaniu jest: trafia co najmniej 4, więc trzeba rozważyć sytuację (i obliczyć prawdopodobieństwo) w której trafia wszystkie 5.

Będzie to \(\displaystyle{ 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 * 0,8 = 0,32768}\)

Należy to prawdopodobieństwo co ja obliczyłem dodać do tego 0,4096 i otrzymany wynik będzie odpowiedzią do zad2.

AdiPL · Post autor: **AdiPL** » 18 cze 2009, o 18:50

Dziękuję bardzo za objaśnienie. Tak myślałem, ale nie byłem pewny. Mógłbyś napisać do mnie na gadulca?? Numer to 3311068.