Funkcja generująca

[lukabesoin]

Zmienna Z ma rozkład dyskretny:

\(\displaystyle{ P(Z=1)=P(Z=-1)=\frac{1}{2}}\)

Zmienna X ma rozkład gamma.
Zmienne Z i X są niezależne.
Jak znaleźć funkcję generującą momenty zmiennej \(\displaystyle{ Z \cdot X}\)?

/bez obliczeń -chodzi o sposób/

Formuły matematyczne pisz w latexu. Zdanie się zaczyna z dużej litery, a kończy kropką.
Emiel Regis

[bstq]

\(\displaystyle{ M_{Z\cdot X}(t)=\mathbb{E}e^{t\cdot Z\cdot X}=\mathbb{E}_{Z}\left[\mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z\right)\right]=\mathbb{E}_{Z}\left[\mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z\right)\right]=\triangle}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z=z\right)=\frac{1}{P\left(Z=z\right)}\cdot\mathbb{E}\left(e^{t\cdot z\cdot X}\right)=\frac{1}{P\left(Z=z\right)}\cdot M_{X}(t\cdot z)}\)

\(\displaystyle{ X\sim\Gamma\left(\alpha,\beta\right)\Rightarrow M_{X}(t)=\left(1-\beta t\right)^{-\alpha}}\)

\(\displaystyle{ \triangle=\frac{1}{P\left(Z=1\right)}\cdot M_{X}(t\cdot1)\cdot P\left(Z=1\right)+\frac{1}{P\left(Z=-1\right)}\cdot M_{X}(-t)\cdot P\left(Z=-1\right)=\left(1-\beta\right)^{-\alpha}+\left(1+\beta\right)^{-\alpha}}\)


nie daje głowy, że dobrze obliczyłem - pamiętałem tylko tyle, że trzeba warunkować

[Emiel Regis]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z=z\right)=\frac{1}{P\left(Z=z\right)}\cdot\mathbb{E}\left(e^{t\cdot z\cdot X}\right)}\)

A to przejście z czego wynika? Pamiętam własność:

\(\displaystyle{ E(X|A) = \frac{1}{P(A)} \int_A X dP}\)

a to jest co innego niż u Ciebie. Ja tak bym to liczył:

\(\displaystyle{ M_{XZ}(t) = Ee^{tXZ} = \\ \\ = E(e^{tXZ}|Z=-1) \cdot P(Z=-1) + E(e^{tXZ}|Z=1) \cdot P(Z=1) \stackrel{(*)}{=}}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2} Ee^{-tX} + \frac{1}{2} Ee^{tX} = \frac{1}{2} M_X(-t) + \frac{1}{2} M_X(t) = \frac{1}{2} (1 + \beta)^{-\alpha} + \frac{1}{2} (1 - \beta)^{-\alpha}}\)



\(\displaystyle{ (*) - \mbox{ niezależność X i Y}}\)

[jovante]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z=z\right)=\frac{1}{P\left(Z=z\right)}\cdot\mathbb{E}\left(e^{t\cdot z\cdot X}\right)}\)

A to przejście z czego wynika?

Emiel Regis ma rację, powinno być: \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left(e^{t\cdot Z\cdot X}|Z=z\right)=\mathbb{E}\left(e^{t\cdot z\cdot X}\right)}\).
Wynik Emiel Regis jest poprawny, przy czym wykorzystał niezależność X i Z (taka mała literówka).