witam, staram się udowodnić prawdziwość wzorów na EX (wartość oczekiwaną) rozkładów: dwumianowego i geometrycznego i coś nie mogę dać rady
rozklad dwumianowy:
funkcja gęstości ma postać:
\(\displaystyle{ P(X=k) = f(X=k) = {n \choose k} p^{k} (1-p)^{k-1}}\)
gdzie k przebiega od 0 do n (n jest liczbą prób) a p jest prawdopodobieństwem sukcesu
rozklad geometryczny:
funkcja gęstości ma postać:
\(\displaystyle{ P(X=k) = f(X=k) = (1-p)^{k-1} p}\)
gdzie p podobnie jak wyżej jest prawdopodobieństwem sukcesu, natomiast k przebiega tu od 1 do nieskończoności.
odpowiednio dla ww rozkładów mamy \(\displaystyle{ EX = np}\) oraz \(\displaystyle{ EX = \frac{1}{p}}\)
dowodzić należałoby pewnie, posługując się definicją wartości oczekiwanej dla rozkładów zmiennnych dyskretnych:
\(\displaystyle{ EX = \sum_{X} = kP(X=k)}\)
co też robię, ale zatrzymuję się już na początku ponieważ nie znam się zbytnio na szeregach...
Mógłby ktoś poświęcić trochę swojego czasu i pomóc?
z góry dzieki!!!
dowód na wartość oczekiwaną
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
dowód na wartość oczekiwaną
rozkład geometryczny
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p=q^{k-1}p}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{k=1}^{\infty}kpq^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty}(q^k)'=p \left( \sum_{k=1}^{\infty}q^k\right) '=p \left(\frac{1}{1-q} \right) '=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}}\)
rozkład dwumianowy
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}= {n \choose k} p^kq^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{k=0}^n k{n \choose k} p^kq^{n-k}=\sum_{k=0}^nk\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}p^kq^{n-k}=np\sum_{k=0}^n\frac{k(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1}q^{n-k}=np\sum_{k=1}^n\frac{k(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1}q^{n-k}=np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p^{k-1}q^{n-k}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ k-1=r}\)
\(\displaystyle{ np\sum_{r=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!r!}p^rq^{n-r-1}=np\sum_{r=0}^{n-1} {n-1 \choose r} p^rq^{n-r-1}=np(q+p)^{n-1}=np}\)
\(\displaystyle{ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p=q^{k-1}p}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{k=1}^{\infty}kpq^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=p\sum_{k=1}^{\infty}(q^k)'=p \left( \sum_{k=1}^{\infty}q^k\right) '=p \left(\frac{1}{1-q} \right) '=p\cdot\frac{1}{(1-q)^2}=p\cdot\frac{1}{p^2}=\frac{1}{p}}\)
rozkład dwumianowy
\(\displaystyle{ P(X=k)= {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k}= {n \choose k} p^kq^{n-k}}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{k=0}^n k{n \choose k} p^kq^{n-k}=\sum_{k=0}^nk\cdot\frac{n!}{(n-k)!k!}p^kq^{n-k}=np\sum_{k=0}^n\frac{k(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1}q^{n-k}=np\sum_{k=1}^n\frac{k(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1}q^{n-k}=np\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p^{k-1}q^{n-k}}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ k-1=r}\)
\(\displaystyle{ np\sum_{r=0}^{n-1}\frac{(n-1)!}{(n-r-1)!r!}p^rq^{n-r-1}=np\sum_{r=0}^{n-1} {n-1 \choose r} p^rq^{n-r-1}=np(q+p)^{n-1}=np}\)