Gęstość i dystrybuanta

[wektorek]

1) Niech A>0
\(\displaystyle{ f(x):=Be ^{-Ax} \cdot 1/[0,+ \infty](x)}\)
Dla jakiego B funkcja f jest gęstością pewnej zmiennej losowej?

2) Oblicz \(\displaystyle{ P(X in [-2,3[)}\)

3) Znaleźć dystrybuantę rozkładu o gęstości f.

[Gotta]

1)

\(\displaystyle{ \int_0^{\infty} Be^{-Ax} \mbox{d}x =1 \Rightarrow B=A}\)

3)

dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)

\(\displaystyle{ F(x)=0}\)


dla \(\displaystyle{ x>0}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{0}^{x}Ae^{-At} \mbox{d}t =- \left( e^{-Ax}-1\right) =1-e^{-Ax}}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x \le 0 \\ 1-e^{-Ax}\qquad\text{dla }x>0 \end{cases}}\)


2)
\(\displaystyle{ P(-2 \le X \le 3)=F(3)-F(-2)=1-e^{-3A}}\)

[wektorek]

Mam pytanie do do 2)

\(\displaystyle{ P(-2 \le X \le 3)=F(3)-F(-2)}\), tak?

A we wzorze pierwsza nierówność jest nieostra, druga ostra. Nie robi to żadnej różnicy?

Tak samo byłoby \(\displaystyle{ P(-2 < X \le 3)=F(3)-F(-2)}\)
\(\displaystyle{ P(-2 < X < 3)=F(3)-F(-2)}\)
\(\displaystyle{ P(-2 \le X < 3)=F(3)-F(-2)}\) ?

[Gotta]

X jest zmienną typu ciągłego, więc nie ma różnicy.
\(\displaystyle{ P(a \le X \le b)=P(a \le X<b)=P(a<X \le b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a)}\)

Inna sprawa, gdyby X była zmienną skokową. Wtedy

\(\displaystyle{ P(a \le X<b)=F(b)-F(a),}\)

ale

\(\displaystyle{ P(a<X<b)=F(b)- \lim_{x \to a^+}F(x)}\)

\(\displaystyle{ P(a<X \le b)= \lim_{x \to b^+}F(x)- \lim_{x \to a^+}F(x)}\)

\(\displaystyle{ P(a \le X \le b)= \lim_{x \to b^+}F(x)-F(a)}\)

[wektorek]

X jest zmienną typu ciągłego, więc nie ma różnicy.
\(\displaystyle{ P(a \le X \le b)=P(a \le X<b)=P(a<X \le b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a)}\)

Inna sprawa, gdyby X była zmienną skokową. Wtedy

\(\displaystyle{ P(a \le X<b)=F(b)-F(a),}\)

ale

\(\displaystyle{ P(a<X<b)=F(b)- \lim_{x \to a^+}F(x)}\)

\(\displaystyle{ P(a<X \le b)= \lim_{x \to b^+}F(x)- \lim_{x \to a^+}F(x)}\)

\(\displaystyle{ P(a \le X \le b)= \lim_{x \to b^+}F(x)-F(a)}\)

Właśnie o to mi chodziło. Nie rozróżniałam tych typów. Dzięki.