Pokazać, że gdy F jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej to
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }F(x)=1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to -\infty }F(x)=0}\)
Dystrybuanta dowód
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Dystrybuanta dowód
Chyba zdroworozsądkowo. Dystrybuanta jest określona jako
\(\displaystyle{ F(t) = \mathbf{P}(X\leqslant t)}\)
ewentualnie nierówność ostra jeśli chcemy mieć dystrybuantę rosyjską.
Wszystkie własności dystrybuanty jak granice, jednostronna ciągłość, monotoniczność, są konsekwencją z aksjomatów prawdopodobieństwa, własności miary.
Nie bardzo się zgadzam żeby wspomniane własności były definicją... mówimy o dystrybuancie w kontekście prawdopodobieństwie i zmiennej losowej, od tych pojęć powinniśmy wychodzić.
Oznaczmy zdarzenie \(\displaystyle{ \left\{X\leqslant n\right\} = A_n}\).
jest to zdarzenie mierzalne, ciąg \(\displaystyle{ A_n}\) jest wstępujący.
Należy wykorzystać własność nazywaną ciągłością miary
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\ti\infty}\mathbf{P}(A_n)=\mathbf{P}\left(\bigcup A_n\right)}\)
Ale wiemy że \(\displaystyle{ \bigcup A_n = \Omega}\), stąd dostajemy
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}F(n)=1}\) (po liczbach naturalnych)
dystrybuanta jest monotoniczna, więc granica istnieje przy \(\displaystyle{ t\to\infty}\) w sposób dowolny.
\(\displaystyle{ F(t) = \mathbf{P}(X\leqslant t)}\)
ewentualnie nierówność ostra jeśli chcemy mieć dystrybuantę rosyjską.
Wszystkie własności dystrybuanty jak granice, jednostronna ciągłość, monotoniczność, są konsekwencją z aksjomatów prawdopodobieństwa, własności miary.
Nie bardzo się zgadzam żeby wspomniane własności były definicją... mówimy o dystrybuancie w kontekście prawdopodobieństwie i zmiennej losowej, od tych pojęć powinniśmy wychodzić.
Oznaczmy zdarzenie \(\displaystyle{ \left\{X\leqslant n\right\} = A_n}\).
jest to zdarzenie mierzalne, ciąg \(\displaystyle{ A_n}\) jest wstępujący.
Należy wykorzystać własność nazywaną ciągłością miary
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\ti\infty}\mathbf{P}(A_n)=\mathbf{P}\left(\bigcup A_n\right)}\)
Ale wiemy że \(\displaystyle{ \bigcup A_n = \Omega}\), stąd dostajemy
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}F(n)=1}\) (po liczbach naturalnych)
dystrybuanta jest monotoniczna, więc granica istnieje przy \(\displaystyle{ t\to\infty}\) w sposób dowolny.
-
Maciej87
- Użytkownik
- Posty: 377
- Rejestracja: 26 sty 2009, o 09:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 46 razy
Dystrybuanta dowód
?
Nie wiedziałem. Pewnie ja patrzę kategoriami uniwersyteckimi i fana gatunku i nie wszędzie te związki o których myślę się uwypukla, ale szczerze mówiąc, dalej nie widzę w tym konsekwencji, jak ta cała teoria będzie wtedy powiązana.
No bo rozkład to miara probabilistyczna na prostej... To że jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, to znowu nie jest oczywiste i wymaga np. twierdzenia o \(\displaystyle{ \pi-\lambda}\) systemach.
Dystrybuanta niesie informację o półprostych i przez to jest taka bardziej, nie wiem czy to dobre słowo, konkretna, dlatego to mi się zawsze widziało naturalną kolejnością.
Mógłbyś podać jakiegoś linka, gdzie w ten, co mówiłeś sposób pojęcia wprowadzają?
Nie wiedziałem. Pewnie ja patrzę kategoriami uniwersyteckimi i fana gatunku i nie wszędzie te związki o których myślę się uwypukla, ale szczerze mówiąc, dalej nie widzę w tym konsekwencji, jak ta cała teoria będzie wtedy powiązana.
No bo rozkład to miara probabilistyczna na prostej... To że jest jednoznacznie wyznaczony przez dystrybuantę, to znowu nie jest oczywiste i wymaga np. twierdzenia o \(\displaystyle{ \pi-\lambda}\) systemach.
Dystrybuanta niesie informację o półprostych i przez to jest taka bardziej, nie wiem czy to dobre słowo, konkretna, dlatego to mi się zawsze widziało naturalną kolejnością.
Mógłbyś podać jakiegoś linka, gdzie w ten, co mówiłeś sposób pojęcia wprowadzają?