rozkład prawdopodobieństwa odległości 2 losowych punktów
rozkład prawdopodobieństwa odległości 2 losowych punktów
Mamy odcinek AB o dlugosci 5 . Na odcinku wybieramy losowo punkty C i D. Zmienna losowa to odleglosc tych punktow CD. Policz gestosc rozkladu X
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
rozkład prawdopodobieństwa odległości 2 losowych punktów
\(\displaystyle{ X\sim\mathcal{U}\left(\left[A,B\right]\right)\Rightarrow f_{X}(x)=\frac{1}{\left|AB\right|}\cdot\mathbb{I}\left(x\in\left[A,B\right]\right)}\)
- wybieramy punkt C
\(\displaystyle{ Y\sim\mathcal{U}\left(\left[A,B\right]\right)\Rightarrow f_{Y}(x)=\frac{1}{\left|AB\right|}\cdot\mathbb{I}\left(x\in\left[A,B\right]\right)}\)
- wybieramy punkt D
Punkty C i D wybieramy niezależnie.
Chcemy policzyć rozkład \(\displaystyle{ Z=\left|X-Y\right|}\)
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P\left(Z\le t\right)=?}\)
Oczywiście\(\displaystyle{ -Y\sim\mathcal{U}\left(\left[-B,-A\right]\right)}\).
\(\displaystyle{ W=X+\left(-Y\right)}\) - to musimy znaleźć
\(\displaystyle{ f_{X+\left(-Y\right)}\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(t-y)f_{Y}(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\frac{1}{\left|\left[-B,-A\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(y\in\left[-B,-A\right]\right)dy=}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(-y\in\left[A,B\right]\right)dy=\left(\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\right)^{2}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\mathbb{I}\left(-y\in\left[A,B\right]\right)dy}\)
Suma dwóch rozkładów jednostajnych ma rozkład trójkątny:
u nas maksymalnie możemy dostać \(\displaystyle{ B-A=b}\), a minimalnie \(\displaystyle{ A-B=a}\), jeszcze
tylko jest problem z \(\displaystyle{ c}\). Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ c=0}\). Nie wiem czy
dobrze myślę z tym rozkładem.
Jeśli chodzi o rozkład \(\displaystyle{ Z=\left|W\right|}\), to:
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P\left(Z\le t\right)=P\left(\left|W\right|\le t\right)=\begin{cases}
0 & t\le0\\
P\left(-t\le W\le t\right)=F_{W}(t)-F_{W}(-t) & t>0\end{cases}}\)
Znając rozkład \(\displaystyle{ W}\) można łatwo to wyliczyć.
- wybieramy punkt C
\(\displaystyle{ Y\sim\mathcal{U}\left(\left[A,B\right]\right)\Rightarrow f_{Y}(x)=\frac{1}{\left|AB\right|}\cdot\mathbb{I}\left(x\in\left[A,B\right]\right)}\)
- wybieramy punkt D
Punkty C i D wybieramy niezależnie.
Chcemy policzyć rozkład \(\displaystyle{ Z=\left|X-Y\right|}\)
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P\left(Z\le t\right)=?}\)
Oczywiście\(\displaystyle{ -Y\sim\mathcal{U}\left(\left[-B,-A\right]\right)}\).
\(\displaystyle{ W=X+\left(-Y\right)}\) - to musimy znaleźć
\(\displaystyle{ f_{X+\left(-Y\right)}\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(t-y)f_{Y}(y)dy=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\frac{1}{\left|\left[-B,-A\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(y\in\left[-B,-A\right]\right)dy=}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\cdot\mathbb{I}\left(-y\in\left[A,B\right]\right)dy=\left(\frac{1}{\left|\left[A,B\right]\right|}\right)^{2}\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\mathbb{I}\left(t-y\in\left[A,B\right]\right)\mathbb{I}\left(-y\in\left[A,B\right]\right)dy}\)
Suma dwóch rozkładów jednostajnych ma rozkład trójkątny:
u nas maksymalnie możemy dostać \(\displaystyle{ B-A=b}\), a minimalnie \(\displaystyle{ A-B=a}\), jeszcze
tylko jest problem z \(\displaystyle{ c}\). Wydaje mi się, że \(\displaystyle{ c=0}\). Nie wiem czy
dobrze myślę z tym rozkładem.
Jeśli chodzi o rozkład \(\displaystyle{ Z=\left|W\right|}\), to:
\(\displaystyle{ F_{Z}(t)=P\left(Z\le t\right)=P\left(\left|W\right|\le t\right)=\begin{cases}
0 & t\le0\\
P\left(-t\le W\le t\right)=F_{W}(t)-F_{W}(-t) & t>0\end{cases}}\)
Znając rozkład \(\displaystyle{ W}\) można łatwo to wyliczyć.