Dystrybuanta zmiennej losowej

jablecznik · Post autor: **jablecznik** » 13 cze 2009, o 18:09

Gracz wyciaga z talii (52 kart) trzy karty (bez zwracania). Jesli sa to 3 asy, wygrywa 100 zł.
Jesli sa wsród nich dokładnie 2 asy, gracz wygrywa 50 zł. Jesli sa to 3 figury, gracz wygrywa
10 zł, a w pozostałych przypadkach płaci 1 zł. Niech X oznacza wygrana gracza (przy czym
przegrana 1 zł to inaczej wygrana -1 zł). Znalezc i narysowac dystrybuante zmiennej losowej
X. Obliczyc P(X > 0).

Ok, to sobie policzyłem odpowiednie prawdopodobieństwa:

$\displaystyle{ P(x=100) = \frac{{4 \choose 3}}{{52 \choose 3}} = \frac{1}{5525}}$
$\displaystyle{ P(x=50) = \frac{{4 \choose 2} * {48 \choose 1}}{{52 \choose 3}} = \frac{72}{5525}}$
$\displaystyle{ P(x=10) = \frac{{16 \choose 3}}{{52 \choose 3}} = \frac{28}{1105}}$
$\displaystyle{ P(x=-1) = 1 - \frac{1}{5525} - \frac{72}{5525} - \frac{28}{1105} = \frac{5312}{5525}}$

I teraz, jak obliczyć F(x)? W odpowiedziach mam coś takiego:

$\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{dla\ } x \leqslant -1 \\ \frac{5397}{5525} & \textrm{dla\ } -1 < x \leqslant 10 \\ \frac{5425}{5525} & \textrm{dla\ } 10 < x \leqslant 50 \\ \frac{5524}{5525} & \textrm{dla\ } 50 < x \leqslant 100 \\ 1 & \textrm{dla\ } x > 100 \end{cases}}$

Skąd się te wartości w ogóle wzięły? Proszę o wyjaśnienie.

Z góry dziękuję i pozdrawiam.

Gotta · Post autor: **Gotta** » 13 cze 2009, o 20:46

Jeśli liczymy prawdopodobieństwo otrzymania trzech figur, musimy wykluczyć przypadek wylosowania trzech asów (uwzględniony w $\displaystyle{ P(X=100)}$), a więc

$\displaystyle{ P(X=10)= \frac{ {12 \choose 3}+ {12 \choose 2} \cdot {4 \choose 1} }{ {52 \choose 3} }=\frac{121}{5525}}$

czyli $\displaystyle{ X}$ ma rozkład

$\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &$ -1$ &$ 10$ &$ 50$ &$ 100$ \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{5331}{5525} $& $\frac{121}{5525}$ &$ \frac{72}{5525}$ &$ \frac{1}{5525}$ \\
\hline
\end{tabular}}$

Dystrybuanta:

dla $\displaystyle{ x \le -1}$
$\displaystyle{ F(x)=0}$

dla $\displaystyle{ -1<x \le 10}$
$\displaystyle{ F(x)=0+\frac{5331}{5525}}$

dla $\displaystyle{ 10<x \le 50}$
$\displaystyle{ F(x)=0+\frac{5331}{5525}+\frac{121}{5525}=\frac{5452}{5525}}$

dla $\displaystyle{ 50<x \le 100}$
$\displaystyle{ F(x)=0+\frac{5331}{5525}+\frac{121}{5525}+\frac{72}{5525}=\frac{5524}{5525}}$

dla $\displaystyle{ x>100}$
$\displaystyle{ F(x)=0+\frac{5331}{5525}+\frac{121}{5525}+\frac{72}{5525}+\frac{1}{5525}=1}$

jablecznik · Post autor: **jablecznik** » 13 cze 2009, o 22:17

Dziękuję ślicznie, jeszcze jedno pytanie:
Przy trzech figurach nie powinno być
$\displaystyle{ P(x=50) = \frac{{12 \choose 3} + {12 \choose 2}*{4 \choose 1}}{{52 \choose 3}}}$
Czyli dodatkowy przypadek, że wylosujemy jednego asa i dwie inne figury?

Gotta · Post autor: **Gotta** » 14 cze 2009, o 11:14

Tak, nie uwzględniłam tego przypadku.
Już poprawiam