Udowodnić równość (p. warunkowe)
-
wektorek
- Użytkownik
- Posty: 109
- Rejestracja: 1 mar 2009, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 40 razy
Udowodnić równość (p. warunkowe)
\(\displaystyle{ P(AIB)=P(AIB') \Rightarrow}\) A i B są niezależne.
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Udowodnić równość (p. warunkowe)
\(\displaystyle{ P\left(A|B\right)=P\left(A|B^{\prime}\right)\overset{?}{\Rightarrow}A\bot B}\)
\(\displaystyle{ P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}}\)
\(\displaystyle{ P\left(A|B^{\prime}\right)=\frac{P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}}\)
oraz milcząco zakładamy, że \(\displaystyle{ P\left(B\right),P\left(B^{\prime}\right)>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)\cdot\left(1-P\left(B\right)\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)+P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B\right)}\)
\(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ B^{\prime}}\)są rozłączne:
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}}\)
\(\displaystyle{ P\left(A|B^{\prime}\right)=\frac{P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}}\)
oraz milcząco zakładamy, że \(\displaystyle{ P\left(B\right),P\left(B^{\prime}\right)>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B^{\prime}\right)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)}}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B^{\prime}\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)\cdot\left(1-P\left(B\right)\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)}\)
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\cap B^{\prime}\right)+P\left(A\cap B\right)\cdot P\left(B\right)}\)
\(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ B^{\prime}}\)są rozłączne:
\(\displaystyle{ P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\right)}\)