gęstość, dystrybuanta

[lukas_7]

Dla jakiej wartości \(\displaystyle{ C}\) następująca funkcja jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)?

\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0 &\mbox{dla } x<0\\C(1-x) &\mbox{dla } 0 \le x \le 1\\0 &\mbox{dla } x>1 \end{array}}\)

Po znalezieniu C naszkicować f(x). Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X oaz obliczyć prawdopodobieństwa:

1) \(\displaystyle{ P(X<0,5)}\)
2) \(\displaystyle{ P(0<x<0,75)}\)
3) \(\displaystyle{ P(0,5<x<0,75)}\)
Zinterpretować na wykresie funkcji gęstości znalezione prawdopodobieństwa.

[Lukasz_C747]

\(\displaystyle{ 1 = \int\limits_{R} f(x)dx = \int\limits_{0}^{1} C(1-x)dx = C(x-\frac{x^{2}}{2})|^{x=1}_{x=0} = C(1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}C\\
C = 2\\
F(t) = P(X<t) = \int\limits_{-\infty}^{t} f(x)dx\\
F(x) = \begin{cases} 0, \ x<0\\ \int 2(1-x)dx, \ 0 \le x \le 1 \\ 1, \ 1<x \end{cases} = \begin{cases} 0, \ x<0\\ 2(x-\frac{x^{2}}{2}), \ 0 \le x \le 1 \\ 1, \ 1<x \end{cases} = \begin{cases} 0, \ x<0\\ 2x-x^{2}, \ 0 \le x \le 1 \\ 1, \ 1<x \end{cases} \\
a)\ P(X<0.5) = F(0.5) = 2*0.5-0.5^{2} = 0.75\\
b) \ P(0<X<0.75) = F(0.75)-F(0) = 2*0.75-0.75^{2} - 0 = 0.9375\\
b) \ P(0.5<X<0.75) = F(0.75)-F(0.5) = 0.9375-0.75 = 0.1875}\)