komoda z kolorowymi kulkami

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
artee
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 20 kwie 2005, o 18:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: okolice wawy
Podziękował: 2 razy

komoda z kolorowymi kulkami

Post autor: artee »

Witajcie.
Takie zadanko, które wydaje się być zaskakująco łatwe.
(Stąd prośba o weryfikację)

W pokoju znajdują się cztery komody z dwiema szufladami każda. W każdej szufladzie znajduje się jedna kula:
- w komodzie pierwszej dwie kule białe (po jednej w szufladzie);
- w komodzie drugiej w każdej szufladzie czarna kula;
- w komodzie trzeciej i czwartej w jedne szufladzie kula biała w drugiej czarna.
Komody nie są oznaczone. Po wylosowaniu jednej z ośmiu szuflad okazało się, że znajduje się tam kula czarna.
Oblicz prawdopodobieństwo, że w drugiej szufladzie tej komody znajduje się
a) kula biała;
b) kula czarna.
==========================
Na zdrowy rozum (po rozrysowaniu opcji) wychodzi:
Skoro wylosowano kulę czarną to pozostają do dyspozycji 3 komody (ta z samymi białymi wypada)

A zatem:
a) kula biała może się trafić w dwóch komodach ( z 3-ech) = 2/3
b) kula czarna może być już tylko jedna = 1/3

Czy tak jest dobrze? Coś przeoczyłem?
pozdrawiam
--
Artur
Awatar użytkownika
lina2002
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 599
Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 151 razy

komoda z kolorowymi kulkami

Post autor: lina2002 »

Ja bym do tego podeszła trochę inaczej. Mogłeś wylosować pierwszą szufladę w komodzie drugiej. Wtedy druga kula jest czarna. Mogłeś wylosowac drugą szufladę w komodzie drugiej i wtedy również w pozostałej z szuflad jest kula czarna. Tak więc są 2 takie przypadki. Jeżeli natomiast wylosowano kulę z szuflady w komodzie trzeciej, to w drugiej z szuflad jest kula biała, tak samo jeżeli wylosowano kulę z szuflady w komodzie czwartej, to w drugiej szufladzie jest kula biała. Czyli również 2 przypadki. Tak więc \(\displaystyle{ p= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}}\).
Tak więc Ty nie wziąłeś pod uwagę tego, że w komodzie drugiej mogła zostać wylosowana pierwsza lub druga szuflada.
Jeżeli wolisz można to zadanie zrobić także w sposób bardziej formalny. Mianowicie korzystając ze wzoru Bayesa. Ozn. \(\displaystyle{ C}\)-wylosowanie kuli czarnej, \(\displaystyle{ K_{i}}\)-losowanie z \(\displaystyle{ i}\)-tej komody (\(\displaystyle{ i \in \{1,2,3,4\}}\)), \(\displaystyle{ C|K_{i}}\)-wylosowanie kuli czarnej pod warunkiem, że wylosowano \(\displaystyle{ i}\)-tą komodę. Mamy \(\displaystyle{ P(C|K_{2})=1}\), \(\displaystyle{ P(C|K_{3})=P(C|K_{4})= \frac{1}{2}}\), \(\displaystyle{ P(K_{i})= \frac{1}{4}}\).
No i ze wzoru Bayesa prawdopodobieństwo, że losowano z drugiej komody (bo tylko wtedy kula w drugiej szufladzie będzie czarna) pod warunkiem, że wylosowano kulę czarną wynosi:
\(\displaystyle{ P(K_{2}| C)= \frac{P(C|K_{2})P(K_{2})}{P(C|K_{2}) \cdot P(K_{2})+P(C|K_{3}) \cdot P(K_{3})+P(C|K_{4}) \cdot P(K_{4})}= \frac{1}{2}}\)
(Pominęłam \(\displaystyle{ P(C|K_{1})}\) ponieważ jest równe zero)
yacaranda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 12 cze 2009, o 13:31
Płeć: Kobieta

komoda z kolorowymi kulkami

Post autor: yacaranda »

Moim zdaniem odp. to 2/3 i 1/3. Ze wzoru Bayesa: prawdopodobieństwo wyboru komody 1,2,3,4 - omijam, ponieważ jest to nierealne bo w jednej z komód są tylko białe kule: P(K1)=1/3; P(K2)=1/3; P(K3)=1/3. Następnie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: P(A/K1)=0 - jest to komoda z samymi czarnymi; P(A/K1)=1; P(A/K1)=1 - są to komody gdzie jedna była biała, a druga czarna, czyli teraz możemy wylosować tylko białą. Wynik: P(A/K1)xP(K1) + P(A/K2)xP(K2) + P(A/K3)xP(K3) = 0x1/3 + 1x1/3 + 1x1/3 = 2/3
Podpunkt b analogicznie.
I co o tym sądzicie?
Awatar użytkownika
lina2002
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 599
Rejestracja: 27 mar 2008, o 13:55
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 151 razy

komoda z kolorowymi kulkami

Post autor: lina2002 »

Sadzę, że powinnaś nauczyć się stosować \(\displaystyle{ \LaTeX}\). Mieszasz indeksy. Poza tym błędnie stosujesz wzór na prawdopodobieństwo całkowite zamiast wzoru Bayesa na prawdopodobieństwo przyczyny.
ODPOWIEDZ