Wektor losowy (XY) ma rozkład określony gęstością
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} C(2x+y) \ dla \ 0 \le x \le 2 \wedge 0 \le y \le 1\\0 \ dla \ pozostałych \ (x,y)\end{cases}}\)
a)Oblicz stałą C ,wyznacz gęstości rozkładów brzegowych i sprawdź ,czy zmienne X i Y są niezależne
b) Oblicz współczynnik korelacji i wyznacz prostą regresji zmiennej X względem zmiennej Y
Rozkład gęstości
-
siekieracku
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 9 lis 2007, o 09:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Zamość
- Podziękował: 1 raz
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Rozkład gęstości
1. \(\displaystyle{ c}\) można wyliczyć z warunku
\(\displaystyle{ \int_0^2 \int_0^1 c(2x+y) \mbox{d}y \mbox{d}x =1}\)
2.gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_1(x)= \int_0^1 c(2x+y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ f_2(y)= \int_0^2 c(2x+y) \mbox{d}x}\)
Zmienne są niezależne, gdy \(\displaystyle{ f_1(x)f_2(y)=f(x,y)}\)
3. współczynnik korelacji dany jest wzorem
\(\displaystyle{ \varrho = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{D}^2X\mathbb{D}^2Y}}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \text{cov}(X,Y)=\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}XY= \int_0^2 \int_0^1 cxy(2x+y) \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_0^2 xf_1(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2= \int_0^2 x^2f_1(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_0^1 yf_2(y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y^2= \int_0^1 y^2f_2(y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2Y=\mathbb{E}Y^2-\mathbb{E}^2Y}\)
4. prosta regresji zmiennej \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|Y=y)=\frac{1}{f_2(y)} \int_{0}^{2}cx(2x+y) \mbox{d}x =:m(y)}\)
prostą regresji zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) względem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jest prosta o równaniu
\(\displaystyle{ x=m(y)}\)
\(\displaystyle{ \int_0^2 \int_0^1 c(2x+y) \mbox{d}y \mbox{d}x =1}\)
2.gęstości brzegowe:
\(\displaystyle{ f_1(x)= \int_0^1 c(2x+y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ f_2(y)= \int_0^2 c(2x+y) \mbox{d}x}\)
Zmienne są niezależne, gdy \(\displaystyle{ f_1(x)f_2(y)=f(x,y)}\)
3. współczynnik korelacji dany jest wzorem
\(\displaystyle{ \varrho = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{D}^2X\mathbb{D}^2Y}}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \text{cov}(X,Y)=\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}XY= \int_0^2 \int_0^1 cxy(2x+y) \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_0^2 xf_1(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2= \int_0^2 x^2f_1(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y= \int_0^1 yf_2(y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y^2= \int_0^1 y^2f_2(y) \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2Y=\mathbb{E}Y^2-\mathbb{E}^2Y}\)
4. prosta regresji zmiennej \(\displaystyle{ X}\) względem \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|Y=y)=\frac{1}{f_2(y)} \int_{0}^{2}cx(2x+y) \mbox{d}x =:m(y)}\)
prostą regresji zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) względem zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) jest prosta o równaniu
\(\displaystyle{ x=m(y)}\)